第二章 电路的暂态分析
一、 基本要求
1. 理解暂态过程的原因及换路定则；
2. 了解经典法分析一阶电路的暂态过程；
3. 能确定时间常数、初始值和稳态值三个要素，并了解其意义；
4. 熟练应用三要素法求一阶电路的公式；
5. 了解微分电路和积分电路。

二、 主要内容
一般的讲，电路从一个稳态经过一定的时间到另一个稳态的物理过程称为过渡过程，和稳态相对应，电路的过渡过程称为暂态过程。

由于电路的（开、闭、变动）换路，只要引起储能元件（C 、L ）上能量的变动，就会引起暂态过程。

本章主要分析RC 和RL 一阶线性电路的暂态过程。

只限于直流暂态电路。

1．几个概念
换路：换路是指电路的开、断或变动。

一般设t =0时换路。

旧稳态：换路前电路的稳定状态。

t =0-时，是指换路前（旧稳态）的最后瞬间。

新稳态：换路后电路的稳定状态。

过渡过程开始：t =0+时，是指换路后（过渡过程）的最初瞬间。

2． 换路定则
由于暂态过程中储能元件的能量不能突变，故有：
)0()0()
0()0(+-+-==L L C C i i u u — 称换路定则。

换路定则表示换路瞬间，电容上的电压和电感上的电流不能突变，称不可突变量；而其它各量则不受能量的约束是可突变量，如电容上的电流等。

换路定则只适用于换路瞬间，利用它可以确定暂态过程中电容电压、电感电流的初始值。

3．初始值的确定
初始值是指+=0t 时各电压、电流的值。

求初始值步骤如下：
1) 在-=0t 的电路中，求出)0(-C u 或)0(-L i 不可突变量；由换路定律得出初始值，
)0()0()
0()0(-+-+==L L C C i i u u
2) 在+=0t 的电路中，求其它可突变量的初始值。

注意： 在+=0t 电路中，把初始值)0(+C u 或)0(+L i 当电源处理。

换路前，如果储能元件没有储能，)0(+C u =0，)0(+L i =0，则在+=0t 的电路中，将电容元件短路，电感元件开路。

换路前，若储能元件储有能量， )0()0(),0()0(-+-+==L L C C i i u u ，则在+=0t 的电路中，电容元件用一恒压源代替，其电压为)0(-C u ；电感元件可用一恒流源代替，其电流为)0(-L i 。

求初始值是个难点，要从概念上真正理解才行。

4. 一阶电路暂态分析的三要素法
三要素法是通过经典法推导得出的一个表示指数曲线的公式。

避开了解微分方程的麻烦，它可以完全快速、准确地解决一阶电路问题。

三要素法一般公式：
[]τt
e
f f f t f -+∞-+∞=)()0()()( 上式只适用于在阶跃激励下的一阶线性暂态电路的分析，只要求出其中三个
要素，即可描述一阶电路的暂态过程。

三个要素的意义：
(1) 稳态值f (∞)：换路后，电路达到新稳态时的电压或电流值。

当直流电路处于稳态时,电路的处理方法是：电容开路，电感短路，用求稳态电路的方法求出所求量的新稳态值。

(2) 初始值f (0+)：f (0+)是指任意元件上的电压或电流的初始值。

(3) 时间常数τ：用来表征暂态过程进行快慢的参数，单位为秒。

它的意义在于，
a. τ越大，暂态过程的速度越慢，τ越小，暂态过程的速度则越快，
b.理论上，当t 为无穷大时，暂态过程结束；实际中，当t =(3～5)τ时，即可认为暂态过程结束。

时间常数的求法是：对于RC 电路τ=RC ，对于RL 电路τ=L/R 。

这里R 、L 、C 都是等效值，其中R 是把换路后的电路变成无源电路，从电容（或电感）两端看进去的等效电阻（同戴维宁定理求R 0的方法）。

c.同一电路中，各个电压、电流量的τ相同，充、放电的速度是相同的。

电路分析中，外部输入电源通常称为激励；在激励下，各支路中产生的电压和电流称为响应。

不同的电路换路后，电路的响应是不同的时间函数。

（1）零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，仅由初始储能引起的响应，其实质是电容、电感元件放电的过程。

即：τt
e f t f -+=)0()(
（2）零状态响应是指换路前初始储能为零，仅由外加激励引起的响应，其实质是电源给电容、电感元件充电的过程。

即：⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∞=-τt e
f t f 1)()( （3）全响应是指电源激励和初始储能共同作用的结果，其实质是零输入响应和零状态响应的叠加。

)
1)(()0()(ττt
t e f e f t f --+-∞+= 零输入响应 零状态响应
应用三要素法求出的暂态方程可满足在阶跃激励下所有一阶线性电路的响应情况，如从RC 电路的暂态分析所得出的电压和电流的充、放电曲线如图2-1，这四种情况都可以用三要素法直接求出和描述，因此三要素法是即简单又准确的方法。

图2-1(a),(b),(c),(d)
RL 电路完全可以在理解RC 电路以后，对照RC 电路来学习，不同的是时间
常数R
L =τ，另外还应该注意教材例2-7中所提到的过电压现象。

5. 微分和积分电路
微分电路与积分电路是R 、C 组成的电路，在矩形脉冲作用下各自的特点不同。

微分电路必须满足条件（1）输出信号u 0从R 上取出，（2）τ=RC <<t p ，输出才是尖脉冲。

积分电路必须满足条件（1）输出信号u 0从C 上取出，（2）τ=RC >>t p ，输出才是三角波。

t p 表示脉冲宽度。

三、 考试内容
三要素法求解动态电路，要求能够计算出电感或电容的换路后初值、换路后的稳态值及时间常数，并用三要素公式写出电压或电流的表达式。

四、 例题
1.如题1图电路，I S =10mA U =50V R 1=R 2=10K L =10mH ，开关闭合前电路处于稳态，t =0时开关S 闭合，试求：u （t ）
R 2L
L
题1图
2电路如题2图（a ）、（b ）所示，原处于稳态。

试确定换路初始瞬间所示电压和电流的初始值。

（a）（b）
题2图
3在题3图所示电路中，已知E = 20V，R =5KΩ，C = 100μF，设电容初始储能为零。

试求：
（1）电路的时间常数τ；（2）开关S闭合后的电流I，各元件的电压u C和u R，并作出它们的变化曲线；（3）经过一个时间常数后的电容电压值。

题3图
4题4图所示电路，原处于稳态。

在t = 0时将开关S打开，试求开关S打开后电感元件的电流i L（t）及电压u L（t）。

题4图。