课题三角函数的图像及性质1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( π2/±α , π的±正α弦、余弦、正切)教学目标 2.利用单位圆中的三角函数线作出y sin x,x R的图象，明确图象的形状；3.根据关系cosx sin(x ) ，作出y cosx,x R的图象；24.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；重点、难点1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值2、作余弦函数的图象。
教学内容、正弦函数和余弦函数的图象：-1正弦函数y sin x 和余弦函数y cos x图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，, ,3 ,2 22的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
二、正弦函数y sin x(x R) 、余弦函数y cosx(x R) 的性质：( 1)定义域：都是R。
(2)值域：1、都是1,1 ，2、y sinx ，当x 2k k23、y cosx ，当x 2k k Z 例：( 1)若函数y a bsin(3 xZ 时，y 取最大值1 ；当x时，y 取最大值1，当x 2k) 的最大值为3，最小值为6232k 3 k Z 时，y 取最小值－1；2k Z 时，y 取最小值－ 1 。
1，则 a __， b ＿23y-21y=cosx-3-5-32-4 -7 -2 -3221答： a 12,b 1或b 1)；⑵ 函数 y=-2sinx+10 取最小值时，自变量 x 的集合是3）周期性 ：（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的交 点）。
5）单调性 ：别忘了 k Z ！⑴函数 y=sin2x 的单调减区间是（① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ；② f ( x) A sin(x)和 f (x) Acos(2 x ） 的最小正周期都是 T 2sin 3x ，则 f （1） f （2） ⑵．下列函数中，最小正周期为例： (1)若 f (x) f (3) L的是（A. y cos 4xB. y sin 2xC.yf (2003) ＝答： 0）；x sin2D.yxcos4（ 4）奇偶性与对称性 ：1、正弦函数 y sin x （ x R ） 是奇函数，对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z ；22、余弦函数 y cosx （x R ） 是偶函数， 对称中心是 k 2 ,0k Z ，对称轴是直线 x k k Z5例：（1） 函数 y sin 522x 的奇偶性是答：偶函数）；2）已知函数 f （ x ） a x bsin 3 x 1( a,b 为常数)， 且 f (5 ) 7， 则 f ( 5)答：－ 5）；y sin x 在2k, 2k 2k Z 上单调递增，在2k, 2k23k Z 单调递减； 2y cosx 在 2k ,2 kZ 上单调递减，在 2k,2kk Z 上单调递增。
特别提醒 ，2k . 3 2k (k z)22 4,k (k z)A. B.(5)研究函数 y Asin( x )性质的方法：类比于研究 y sin x 的性质 ，只需将 y Asin( x ) 中的 x 看成 y sin x 中的 x ，但在求 y Asin( x ) 的单调区间时，要特别注意 A 和 的符号， 通过诱导公式先将 化正。
如(1)函数 y sin( 2x ) 的递减区间是 __5____ (答： [ k 5,k]( k Z))；31212( 2) yxlog 1 cos( ) 的递减区间是 _____ 3__(答： [ 6k 3 ,6k 3]( k Z ) )；12 34 44( 3)函数 y Asin( x ) 图象的画法 ： 3① “五点法”――设 X x ，令 X ＝0， , ,3 ,2 求出相应的 x 值，计算得出五点的坐标， 22 描点后得出图象；② 图象变换法：这是作函数简图常用方法。
⑴ 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的 x 的集合：11 5 (1)sin x ; (2)cos x ,(0 x ).2226.形如 y Asin( x) 的函数：11)几个物理量 ：A ―振幅； f 1 ―频率(周期的倒数) ； x ―相位； ―初相；C. ＋2k ,3 2k (k z)D. k4,k 4 (k z)⑵ . 用五点法作函数 y 2cos(x 3),x [0,2 ] 的简图 .2）函数 y Asin （ x ） 表达式的确定 ：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，3.函数 y Asin （ x ） k 的图象与 y sin x 图象间的关系 ：① 函数 y sin x 的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0 ）或向右（ <0 ）平移 | | 个单位得y sin x 的图象；② 函数 y sin x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1，得到函数 y sin x 的图象；③ 函数 y sin x 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数 y Asin （ x ） 的 图象； ④ 函数 y Asin （ x ） 图象的横坐标不变，纵坐标向上（ k 0）或向下（k 0），得到 y Asin x k 的图象。
要 特别注意 ，若由 y sin x 得到 y sin x 的图象，则向左或 向右平移应平移 | |个单位，例：（ 1）函数 y 2sin （2 x ） 1的图象经过怎样的变换才能得到 y sin x 的图象4例1、已知函数 y=Asin （ωx+φ ）+b （A>0,| φ |< π ,b 为常数 ）的①求函数的解析式； ②求这个函数的单调区间段图象 （如图）所示 .2.函数 y Asin （ x ） 图象的画法 ：① “五点法”――设 X x ，令 X ＝ 0， ,2描点后得出图象；② 图象变换法：这是作函数简图常用方法。
3,2求出相应的 x 值，计算得出五点的坐标，x4 )的图象，只需把函数 y sin x2 的图象向 ___平移 个单位答：［1, 2) )(4) 对于函数 f x 2sin 2x 给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线3x 成轴对称； ③图象可由函数 y 2sin 2x 的图像向左平移 个单位得到； ④图像向左平移 个12 3 12 单位，即得到函数 y 2cos 2x 的图像。
其中正确结论是(2) 要得到函数 y 课堂练习：1、已知函数 y=f(x),将 f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变 ,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得的图象沿 x 轴向左平移 4个单位,这样得到的曲线与 y=3sinx 的图象相同 , 那么 y=f(x)的解析式为xA ． f(x)=3sin( C ． f(x)=3sin(xB ．f(x)=3sin(2x+ )4D ． f(x)=3sin(2x － )42． (2009 山东卷理 )将函数 y sin 2x 的图象向左平移 个单位 , 再向上平移41 个单位 , 所得图象的函数解析式是).A. y cos2xB.y22cos xC.y 1 sin(2x )D.y2sin 2 x3)若函数 f xcosx sinx x 0,2的图象与直线 y k 有且仅有四个不同的交点， 则k 的取值范围是 (3)设函数f (x) Asin( x )(A 0, 0, 2则1A 、 f (x)的图象过点 (0, )2C 、f (x)的图象的一个对称中心 是(5 ,0)) 的图象关于直线 x 2 对称，它的周期是 23B 、 f(x)在区间 [5 ,2 ]上是减函数12 3D 、 f(x) 的最大值是 A四、正切函数y tanx 的图象和性质：y=tanxy3-o3x-2-2221)定义域：{x|x k ,k Z} 。
遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗22)值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；3)周期性：是周期函数且周期是，它与直线y a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。
如y sin2 x, y sinx 的周期都是, 但y sinx cosx 的周期为，而1y | 2sin(3 x ) |,y | 2sin(3 x ) 2| ，y |tanx| 的周期不变；( 4)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是k ,0 k Z ，特别提醒：正(余)切型函数的对称2中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处5)单调性：正切函数在开区间k , k k Z 内都是增函数。
但要注意在整个定22义域上不具有单调性。
如下图：三角函数图象几何性质三角函数图象几何性质y=yAtaAnt(aωn(x+xφ ) ) yOxxxx=x1 x=x2★课后作业：课后作业：1、函数y3sin(2 x) 的单调递减区间是()A．5511k,k(k Z) B．k,k(k Z) 12121212C．k,k(k Z) D．k,k2 (k Z)36632、已知函数 f (x)sinx ,g(x) cos(x)，则() A．f (x) 与g(x) 都是奇函数B． f (x) 与g(x) 都是偶函数C．f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数D．f (x) 是偶函数，g(x) 是奇函数、选择题：3、若函数y=2sin(8x+θ)+1 的图象关于直线x)对称，则θ的值为(A．0B．C．kπ(k∈Z)D．kπ+ ( k∈6Z)4、函数y xsin的最小正周期是()2A．B．C 2D．425、函数y cos(2x) 的单调递减区间是()66、已知函数f (x) sin( x ) 1 ，则下列命题正确的是( )2A．f(x)是周期为1的奇函数B．f ( x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数97、函数y cos(2x ) 是( )A．奇函数非偶函数B．偶函数非奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数二、填空题：1x7、已知函数y sin (A 0) 的最小正周期为3 ，则A= ．2A8、函数f(x)=11-8cosx-2sin2x 的最大值是______ ．19、函数函数y lg(1 sin x)的定义域是．210、若x 是方程2cos(x ) 1的解,其中(0,2 ) ,则=311、已知函数f(x) ax3bsinx 1(a、b为常数)，且f(5)=7，则f( 5)= _________________ .12、给出下列命题：5①函数y sin(5 2x)是偶函数;2②方程x 是函数y sin(2x 5 ) 的图象的一条对称轴方程; 84③若α、β是第一象限角，且α >β，则sinα>sinβ . 其中正确命题的序号是.(填序号)三．解答题：13．已知，求证：14．若15、设函数 f ( x) sin( x )( 0,) ,给出三个论断 :○1 它的图象关于 x32最小正周期为 ;○3它在区间 [ ,3 ]上的最大值为 2 .以其中的两个论断作为条件 4 8 2 论 ,试写出你认为正确的一个命题并给予证明 .16、已知函数 f(x) sin( x )( 0,0 ) 是R 上的偶函数，其图象关于点 M且在区间 [ 0, ] 上是单调函数 .求 和 的2的值．对称;○2 它的8另一个作为结(34 ,0) 对称，。