高三数学寒假作业（1）命题人： 李云鹏 复核人： 庄炳灵一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。
） 1．若集合M=｛y| y=x-3｝，P=｛y| y=33-x ｝， 则M∩P=（ ）A ．｛y| y>1｝B ．｛y| y≥1｝C ．｛y| y>0｝D ．｛y| y≥0｝2.将直线l ：x ＋2y －1=0向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到直线l ´，则直线l 与l ´之间的距离为（ ）A ．557 B ．55C ．51D ．573．设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.若抛物线2pxy2=的焦点与椭圆12y6x22=+的右焦点重合，则p 的值为（ ）A.-2B.2C.-4D.4 6.已知直线m 与平面α相交一点P ，则在平面α内（ ）A ．存在直线与直线m 平行，也存在直线与直线m 垂直B ．存在直线与直线m 平行，但不一定存在直线与直线m 垂直C ．不存在直线与直线m 平行，但必存在直线与直线m 垂直D ．不一定存在直线与直线m 平行，也不一定存在直线与直线m 垂直7、在平行四边形A B C D 中，A C 与B D 交于点O E ，是线段O D 的中点，A E 的延长线与C D 交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF = （ ）A ．1142+ a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b8.已知等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++=( )A.－56B.54C.1316D. 569.在△ABC 中，已知tanA +tanB =3tanA ·tanB -3,且sinBcosB =43，则△ABC 是（ ）A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形共线且，若项和为的前、若等差数列C B A OC a OA a OB S n a n n ,,,}{102001+=（不过原点），则=200S （ ）100、A 101、B 200、C 201、D11.在Ｒ上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则( )（Ａ）11<<-a（Ｂ）20<<a（Ｃ）2321<<-a（Ｄ）2123<<-a12、过双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12A B B C=，则双曲线的离心率是 ( )A二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知),(y x P 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x ，则y x 2-的最大值是__________14． 已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为_______ 15.圆锥底面半径为1，其母线与底面所成的角为60°，则它的侧面积为_________________． 16、已知函数bax x x f +-=2)(2（R x ∈），给出下列命题,其中正确命题的序号是_____。
（把你认为正确的序号都填上）①)(x f 不可能为奇函数。
②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称。
③若2a b ≥，则f （x ）在区间[)+∞,a 上是增函数。
④f （x ）的最小值为2a b -。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）已知函数.3cos33cos3sin)(2xx x x f +=（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若a ，b ，c 是△ABC 的三条边，且b 2=ac ，x 是b 所对的角，求)(x f 的最大值。
18、（本小题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求nT19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，点M 、N 分别为棱PD 、PC 的中点．（I ）求证：PD ⊥平面AMN ； （II ）求三棱锥P —AMN 的体积； （III ）求二面角P —AN —M 的大小．(理科做)20、（本小题满分12分）据行业协会预测：某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产上涨%x ，则销售品，可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格量将减少%m x ，且该化工产品每吨的价格上涨幅度不超过80%，（其中m 为正常数）（1）当21=m 时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？（2）如果涨价能使销售总金额比原销售总金额多，求m 的取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数32()ln()2f x x x =++，()ln g x x =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果关于x 的方程1()2g x x m=+有实数根，求实数m 的取值范围；22.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，其中e=21，它的一个焦点和抛物线y 2=4x 的焦点重合．（I ）求该椭圆的标准方程； （II ）过椭圆的右焦点且斜率k （k ≠0）的直线和椭圆分别交于点A 、B ，线段AB 的垂直平分线和x 轴相交点P （m ，0），求实数m 的取值范围．高三数学寒假作业（1）答案一． 选择题CBBAD CBCAA CC二、填空题13. 1 14. 1 15 2π 16. ①③ 三、解答题17．解：（Ⅰ） )(x f 的最小正周期为T=3π（Ⅱ）当,()4x f x π=时的最大值为.123+18. 解：（Ⅰ）13n n a -=（Ⅱ）()213222n n n T n n n-=+⨯=+19.（I ）证明：∵ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD∵PA ⊥底面ABCD∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影， ∴CD ⊥PD在△PCD 中M 、N 分别是PD 、PC 的中点， 则MN ∥CD ，∴MN ⊥PD在△PCD 中PA=AD=2，M 为PD 的中点． ∴AM ⊥PD 则PD ⊥平面AMN（II ）解：∵CD ⊥AD ，CD ⊥PD∴CD ⊥平面PAD ．∵MN ∥CD ，∴MN ⊥平面PAD 又AM ⊂平面PAD∴MN ⊥AM ，∴∠AMN=90°在Rt △PCD 中，PA=AD=2，M 为PD 的中点． ∴AM=PM=2．又MN=21CD=1∴S △AMN =21AM ·MN=22∵PM ⊥平面AMN ，∴PM 为三棱锥P-AMN 的高．V 三棱锥P-AMN =31S △AMN ·PM=31（III ）解：作MH ⊥AN 于H ，连接PH∵PM ⊥平面AMN ，∴PH ⊥AN∴∠PHM 为二面角P —AN —M 的平面角．∵PM ⊥平面AMN ，∴PM ⊥MH ．在Rt △AMN 中，32=⋅=ANMN AM MH在Rt △PMH 中，3322)(===∠MHPM PHM tg∴∠PHM=60°则二面角P —AN —M 的大小为60°20、（1）设该产品每吨的价格上涨x% 时，销售总金额为y 万元由题意得 %)1(%)1(100010mx x y -⨯+⨯⨯= 即2y 100(1)10000m x m x =-+-+ (080)x <≤当21m =(50)112502x -+1时y=-2当x=50时，max 11250y =万元.即该吨产品每吨的价格上涨50%时，销售总最大. （2）由（1）得2y 100(1)10000m x m x =-+-+ (080)x <≤如果涨价能使销售总金额比原销售总金额多 则有080%x <≤当时⨯y>101000即 2100(1)1000010000m x m x -+-+> 080x <≤ ∴100(1)0mx m -+-> 080x <≤恒成立注意到m>0m ax100(1)()m x m->既100(1)80m m->求得 ∴509m <<∴m 的取值范围是509m <<21、解：（1）323()ln()(22f x x x x =++>-，且0)x ≠，221222()3232f x xx xx '=-=-++，令'()0f x =，解得：1x =-或3.()f x ，'()f x 随x 变化情况如下表：x 1- (1,0)- (0,3) 3(3,)+∞'()f x +0 - -0 +()f x↗↘ ↘↗∴()f x 的单调递增区间是（3,12--）和（3,+∞），单调递减区间是（1,0-）和（0,3）。
（2）1()ln 2g x x x m==+，∴1ln (0)2m x x x =->取1()ln (0)2t x x x x =->，11'()(0)2t x x x=->，令'()0t x =，2x =；()t x ，'()t x 随x 变化情况如下表：x(0,2)2 (2,)+∞ '()t x +0 -()t x↗↘22.（本小题满分14分）解：（I ）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0） ……1分设椭圆的方程为：12222=+by ax（a ＞b ＞0）由题意得e=21=a c ……2分又c=1，∴a=2，从而b 2=a 2－c 2=3所以椭圆的方程为：13422=+yx． ……4分（II ）设直线l 的方程为y=k (x-1)（k ≠0）将其代入椭圆方程，得3x 2＋4k 2(x －1)2=12整理得：(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12=0． （k ≠0） ……6分 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点M （x 0，y 0）3(,1)2--∴max ()(2)ln 21t x t ==-， 又0x +→，()t x →-∞， ∴m 的取值范围是(,ln 21]-∞-.则220434kkx +=，222004331434)1(k kk k k x k y +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-= ……9分AB 的垂直平分线方程为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=++2224341433k k x k kk y令y=0，得2243k k+ 即m=2243k k+ ……12分∵k ≠0 ∴m ≠0 且m ≠41∴mm k4132-=＞0 ，∴0＜m ＜41……14分。