习题2-1、试列写图2-40中各电路的微分方程，图中1u 、2u 为输入、输出电压。

答：（a ）设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得dt C i R i u ⎰+=12111 -------------------（1）22312u R i dt C i +=⎰ --------------------（2） dt C i u ⎰=232 -------------------（3） 321i i i += --------------------（4）将（3）整理得： 223'u C i = ---------------------（5） 将（5）带入到（2），得222212'u u C R dt C i +=⎰ ---------------------（6）即 2122212'"u C u R C C i += ---------------------（7） 将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得=+=⎰dt C i R i u 121112222132')(u u C R R i i +++ (a)(b)图2-40 习题2-1用图自动控制原理及应用·16· 2222122212221')''"(u u R C R u C u C u R C C ++++=即1222222121122211'''"u u u C R u C R u C R u C R C R =++++设111C R T =，222C R T =，213C R T =，则122321221')("u u u T T T u T T =++++（b ）设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得 2111'Li R i u += -------------------（1） 2232'u R i Li += --------------------（2）dt Ciu ⎰=32 -------------------（3）321i i i += --------------------（4）将（3）变形得： 23'Cu i = ---------------------（5） 将（5）带入到（2），得2222''u Cu R Li += ---------------------（6）即 ⎰+=dt u Lu L C R i 22221---------------------（7） 将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得=+=2111'Li R i u 222132')(u Cu R R i i +++22212222')'1(u Cu R R Cu dt u Lu L C R ++++=⎰ ------（8） 对（8）两边求导，整理得121221221'')1(")(u u LRu C R L R u C R C R =++++第2章 自动控制系统的数学模型·17·设C R T 11=，C R T 22=，13R LT =，则有 123232221'1')1(")(u u T u T T u T T =++++ 或者为1322322321'')(")(u T u u T T u T T T =++++2-2 、设机械系统如图2-41所示，图中r θ、c θ为输入、输出角位移（角度），试列写该机械系统的微分方程。

[提示]扭力矩M 与角位移θ、弹性系数k 成正比。

风阻M 与角速度'θ、阻尼系数f 成正比。

解：根据牛顿第二定律：（对直线运动∑=ma F ，而旋转运动∑=="'θωJ J M ）)"()(11a r a r J k θθθθ-=- -------------------（1） )"(')(22c a c c a J f k θθθθθ-=-- -------------------（2）在零初始条件下，对式（1）、（2）两试进行拉氏变换，得：)()()()(212111s s J s s J k s k s a r a r θθθθ-=- -------（3）)()()()()(222222s s J s s J s fs k s k s c a c c a θθθθθ-=-- -------（4）由式（3）、（4）得：)()(211211s sJ k s J k s ra θθ+-= -------------------（5）自动控制原理及应用·18·)()(222222s sJ k s J fs k s c a θθ--+= -------------------（6） 将式（6）除以式（4）得：))(())(()()(211222211222s J k s J fs k s J k s J k s s r c +-+--=θθ -------------------（7） 即：21122112314212121221421)()()()(k k fs k s J k J k s fJ s J J k k s J k J k s J J s s r c ++-++-++-=θθ -------（8） 即：)(])([)(])([21212214212112*********s k k s J k J k s J J s k k fs k s J k J k s fJ s J J r c θθ++-=++-++-即：)()()()()()()()()()(2122122144212112221123314421t k k dt t d J k J k dt t d J J t k k dt t d f k dtt d J k J k dt t d fJ dt t d J J r r r c c c c c θθθθθθθθ++-=++-++-2-3 、在如图2-42所示系统中，用一台交流电动机拖动一台直流发电机，设交流电动机的角速度ω为系统的输入，电阻R 两端的电压u 为输出，直流电机的内阻a R 、电感为a L ，试列写该机械系统的微分方程。

解：直流发电机输出电压ωφωe e a E C u ==，其中e C 为由直流发电机决定的电势常数，而φ为直流发电机的定子励磁磁通。

设各支路电流如图所示，根据基尔霍夫电压回路定律，有u第2章 自动控制系统的数学模型 ·19·dtt di Lu t i R t E a a a e )()()(++=ω -------------------（1） 根据基尔霍夫电流定律，有)()()(t i t i t i R C a += -------------------（2）另外根据元件特性，有⎰==dt t i C R t i t u C R )(1)()( ------------------（3） 由（3）式得R t u t i R )()(=------------------（4） dtt du C t i C )()(= ------------------（5）将（4）、（5）式带入到（2）式，得dtt du C R t u t i a )()()(+=------------------（6） 将（6）式带入（1）式，整理得)()()()()(22t E t u R R dt t du C R R L dtt u d LC e aa ω=+++ 2-4、图2-43为加速度测试仪，箱体内部由质量块m 、弹簧k 、阻尼器f 、指针、刻度表构成，系统的输入为箱体垂直方向的加速度a ，系统的输出为质量块m 上的指针相对箱体刻度表的垂直方向位移t y ，试建立该系统的微分方程，并说明在一定条件下位移t y 与加速度a 成正比。

解：绝对位移与相对位移的关系为t y x y =- -------（1）箱体内部质量块m 的受力关系为022=++t t ky dt dy f dtyd m -------（2）将（1）式变形x y yt +=带入到式（2）得图2-43 习题2-4用图自动控制原理及应用·20·0)(2222=+++t t t t ky dt dyf dtx d dt y d m -------（3）考虑到22dt xd a =为系统的输入，整理（3）式，得ma ky dt dyf dty d m t t t -=++22 -------（4）当质量块m 很小、阻尼系数f 也很小时，式（4）近似为a kmy t -= ，这说明加速度越大，相对位移向下也越大。

2-5、试画出习题2、3系统的动态结构图。

解：（1）习题2根据牛顿第二定律：（对直线运动∑=ma F ，而旋转运动∑=="'θωJ J M ）)"()(11a r a r J k θθθθ-=- -------------------（1） )"(')(22c a c c a J f k θθθθθ-=-- -------------------（2）在零初始条件下，对式（1）、（2）两试进行拉氏变换，得：)()()()(212111s s J s s J k s k s a r a r θθθθ-=- -------（3）)()()()()(222222s s J s s J s fs k s k s c a c c a θθθθθ-=-- -------（4）由式（3）、（4）得：)()(211211s s J k s J k s ra θθ+-= -------------------（5） )()(222222s s J k s J fs k s c a θθ--+= -------------------（6）系统的动态结构图为第2章 自动控制系统的数学模型·21·（2）习题3设各支路电流如图所示，建立如下各部分的微分方程dtt di Lu t i R t E a a a e )()()(++=ω -------------------（1） )()()(t i t i t i R C a += -------------------（2）⎰==dt t i C R t i t u C R )(1)()( ------------------（3） 对上述各式在零初始条件下，进行拉氏变换，得)()()()(s LsI s U s I R s E a a a e ++=ω -------------------（4） )()()(s I s I s I R C a += -------------------（5）)(1)()(s I sCR s I s U C R == -------------------（6） 由式（4）得：LsR s U s E s I a e a +-=)()()(ω ---------下图中的虚线框（7）由式（5）得：)()()(s I s I s I R a C -= --------下图中的虚线框（8） 由式（6）得：)(1)(s I sC s U C =--------下图中的虚线框（9） Rs U s I R )()(= --------下图中的虚线框（10）故系统的动态结构图为：自动控制原理及应用·22·2-6、设某系统用如下微分方程组描述，试画出系统的动态结构图。