课题 解三角形中的各类问题考点一 利用正弦、余弦定理解三角形(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.[典题例析](2014·辽宁高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA u u u r ·BC uuur ＝2，cos B ＝13，b ＝3，求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解：(1)由BA u u u r ·BC uuu r ＝2得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因a ＝b >c ，所以C 是锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.[类题通法]正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．[演练冲关]在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u ur 的值．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0，所以3sin A －2sin B sin A ＝0. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，则B ＝π3.(2)由(1)知B ＝π3，因为b ＝7，根据余弦定理得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，则ac ＝6. 又a >c ，可得a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r |·|AC u u u r |cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1.考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]三角形中常见的结论 (1)A ＋B ＋C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)三角形内的诱导公式：sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C2.(5)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . (6)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60° .(7)△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列．[一题多变][典型母题][题点发散1] 本例的条件变为：若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形解：选B 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，选B.法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .[题点发散2] 本例的条件变为：若a cos A ＝b cos B ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B ， 因为2A,2B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.选D.[题点发散3] 本例的条件变为：若2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．且sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，所以sin B ＝sin C ＝12.因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形．[类题通法]判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断． [提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响.考点三 与三角形面积有关的问题(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．[典题例析](2014·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2A ＝33， 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63. 由正弦定理可得b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.(2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )． 所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.[类题通法]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[演练冲关]已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得， sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.考点四 与取值范围有关的问题 (重点保分型考点——师生共研)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解：m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. (1)∵m ·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12，故1＜f (A )＜32. 故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．(1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， 所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A . 故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3 由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2. 故2π3<A ＋π3<5π6， 所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 所以32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为S ，a cos C ＋3c sin A －b －c ＝0.(1)求角A 的值； (2)若a ＝3，求33S ＋3cos B cos C 取最大值时S 的值． 【解】(1)由正弦定理，得sin A ·cos C ＋3sin A ·sin C －sin B －sin C ＝0，∴sin A ·cos C ＋3sin A ·sin C －sin (A ＋C )－sin C ＝0，sin A ·cos C ＋3sin A ·sin C －sin A cos C －cos A sin C －sin C ＝0， ∴3sin A ·sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，又sin C ≠0，∴3sin A －cos A ＝1，即2sin (A －π6)＝1，∴sin (A －π6)＝12，∵－π6＜A －π6＜5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)∵b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，由(1)知C ＝2π3－B ， ∴33S ＋3cos B cos C ＝33·12bc sin A ＋3cos B cos C ＝33·12·2sin B ·2sin C ·32＋3cos B cos C ＝sin B sin C ＋3cos B cos C＝sin B ·sin(2π3－B )＋3cos B ·cos(2π3－B )＝34sin2B ＋12sin 2B －32cos 2B ＋34sin2B ＝34sin2B ＋12·12(1－cos2B )－32·12(1＋cos2B )＋34sin2B ＝3＋14(3sin2B －cos2B )＋1－34＝3＋12sin (2B －π6)＋1－34∵0＜B ＜2π3，则－π6＜2B －π6＜7π6，∴当2B －π6＝π2 时，S 取最大值为3＋34 ．[A 卷——夯基保分]一、选择题1．(2015·昆明调研)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32 B.34 C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 2．(2015·贵州安顺二模)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sin B ∶sinC ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x >0)． 则cos C ＝(5x )2＋(11x )2－(13x )22·5x ·11x ＝－23x 2110x 2<0，∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3解析：选C 由c 2＝(a －b )2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.① 由余弦定理及C ＝π3，可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6.所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.5．(2015·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B.π3 C.3π4D.5π6解析：选A 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3. 6．(2015·东北三校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析：选C 根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.二、填空题7．(2014·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝ ________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，且b >a ，所以B ＝π3或2π3.答案：π3或2π38．(2015·苏北四市联考)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7. 答案：79．(2015·云南第一次检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于________．解析：依题可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b＋a sin A ＝b ＋bsin B＝16 2. 答案：16 2 10．(2015·广东重点中学联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A的值为________． 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin A sin B ，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ，化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )， 又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin Csin A ＝3. 答案：3三、解答题11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．解：(1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0，sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ， sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334. 12．(2015·江西七校联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2BA ―→·CB ―→＝－27. (1)求cos B 的值；(2)求AC 的长度．解：(1)∵C ＝2A ，∴cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18， ∴sin C ＝378，sin A ＝74. ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A ·sin C －cos A ·cos C ＝916. (2)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB ＝32BC . ∵2BA u u u r ·CB u u u r ＝－27，cos B ＝916，∴|BA u u u r ||CB u u u r |＝24， ∴BC ＝4，AB ＝6，∴AC ＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos B ＝ 16＋36－2×4×6×916＝5. [B 卷——增分提能]1．(2014·陕西高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12. 2．(2015·洛阳统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． 解：(1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0， 即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2，∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ，∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ， ∴ab sin A sin Bsin C ＝2，由正弦定理得：⎝⎛⎭⎫c sin C 2sin C ＝2， 解得c ＝1.3．(2015·湖北部分重点中学联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝π3，a ＋b ＝λc (其中λ>1)． (1)若λ＝3时，证明：△ABC 为直角三角形；(2)若AC u u u r ·BC uuu r ＝98λ2，且c ＝3，求λ的值． 解：(1)证明：∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ， ∵C ＝π3，∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝32，sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32， ∴32sin B ＋32cos B ＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32， 从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，B ＝π6或B ＝π2. 若B ＝π6，则A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 若B ＝π2，△ABC 亦为直角三角形． (2)若AC u u u r ·BC uuu r ＝98λ2，则12a ·b ＝98λ2，∴ab ＝94λ2.又a＋b＝3λ，由余弦定理知a2＋b2－c2＝2ab cos C，即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，故9λ2－274λ2＝9，94λ2＝9，λ2＝4，即λ＝2.。