南京大学地学院22数学物理方法期终试卷标
准答案
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2
南京大学2012—2013学年第一学期《数学物理方法》期终考试标准答案
院系 地学院等 年级 三 学号 姓名
一.（20分）计算⎰∞∞
-+dx x
x x
3
sin 。

解：
⎰⎰⎰⎰
∞∞-∞∞-∞∞-∞
∞
-+=+++=+dx x x x i dx x x x i dx x x x dx x
x e ix
3333sin sin cos
因为x
x +31
在上半大圆一致收敛，根据约当引理，x x e ix +3在上半大
圆的积分为０，可将广义积分化为围绕上半复平面的回路积分。

x
x e ix
+3有三个单奇点，其中原点在实轴上， i 在上半平面。

1|13)0(Re 02=+===x ix
x e x s
e
x e i x s i x ix 21
|13)(Re 2-=+===
)11())0(Re 21)((Re 23
e
i x s i x s i dx x x e ix -==+==+⎰
∞
∞
-ππ 因此π)1
1(sin 3
e
dx x x x -=+⎰
∞∞
-
3
二.（20分）已知函数)(t f 的傅立叶变换为1
1
)(4
+=ωωF ,计算)2('t f 的傅立叶变换。

解：
⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-+=
=
ωωωωωωd e d e F t f t
i t
i 11)()(4 ⎰⎰∞
∞
-∞
∞-+=+=ωωωωωωωd e i d e dt d t f t i t
i 1111)('44 ⎰⎰⎰∞
∞-∞
∞-∞
∞-+=+=+=ωωω
ωωωωωωωωωd e i d e i d e i t f t i t i t i 164221)2
(111)2('4424
因此)2('t f 的傅立叶变换为16
44+ωω
i 。

三.（20分）相同高度相距L 的两点之间绷紧一根均质弦。

由于弦自身重力原因，平衡时弦的中点高度比端点矮d 。

1、求弦上横波的传播速度。

2、将弦恢复到水平位置保持静止然后松开，求弦的振动情况。

解：
根据题意，本题为波动问题，两端满足刚性边界条件，弦的横振动方程为
4
⎪⎩⎪
⎨⎧====-=-====0
|,0|0|,0|00
02t t t L x x xx tt u u u u g u v u 1、 在平衡状态下，弦的位置不随时间变化，
0|,0|,02=====L x x xx u u g u v ，可以解出)(22
x L x v g
u --
=。

在弦中点处，d v
gL L L L v g u -=-=--=22
28)2(22,因此L d
g
v 8=。

２、令w x L x v
g
u +--
=)(22，则ｗ满足 ⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
-=====-====)(2|,0|0|,0|020002x L x v g w w w w w v w t t t L x x xx tt 根据齐次边界条件可以得出本征值和本征基函数,一般解为：
∑∞
=+=1)cos sin (sin
n n n L
vt
n B L vt n A L x n w πππ 代入初始条件：
∑∞
==-1
2sin )(2n n B L x n x L x v g π ∑∞
==1
sin
0n n L
v
n A L x n ππ 因此，0=n A ,))1(1(2sin
)(222332
02n L
n v n gL dx L x n x L x v g L B --=-=⎰ππ 最终得到：
5
∑∞
=++++--=0
3
3
2)12(cos )12(sin )
12(1
32)(4n L
vt
n L x n n d x L x L d u πππ
四.（20分）将ϕθϕθ22sin sin ),(=f 按照球谐函数进行展开。

解：
)2cos 1(21
sin 2ϕϕ-= ϕϕθθϕθ2cos )1(2
1
)1(212cos sin 21sin 21),(2222x x f ---=-=
))()((31
)1(21202x P x P x -=- )(6
1
)1(21222x P x =- 因此，ϕϕθ2cos )(6
1
))()((31),(2220x P x P x P f --=
五.（20分）一个长度为L ，半径为R 的半圆柱型工件，初始温度为T 。

将其投入零度的水中进行淬火，求解工件内各点温度随时间变化的函数。

解：
根据题意，本题为输运问题，工件初始温度为Ｔ，表面温度为０：
⎪⎩
⎪
⎨⎧===-=ΩT
u u u a u t xx t 02|0
|0
6
因为工件为半圆柱，且在半圆柱的侧面温度为０，我们可以对其进行奇函数延拓)()(ϕϕu u -=-，延拓后的工件为圆柱形，数学物理方程可以表示为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=====-====)(|0|||0002ϕρf u u u u u a u t L z z R xx t 其中⎩
⎨⎧<<--<<=0,0,)(ϕππϕϕT T f 。

圆柱体输运方程的通解可以表示为：
t
a s k m m e sz sz m m k N k J u 222)(sin cos sin cos )()(+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕϕρρ 根据圆柱体的齐次边界条件求解本征方程，可得：
t a s k j i m ijm
j i e m m z s k J u 222)(sin cos )sin()(+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ϕϕρ，其中L j s j π=，R x k m i i )(=,)
(m i x 是ｍ阶贝塞尔函数的第ｉ个零点。

∑∑∑∞
=∞
=∞
=+-+=111)(2
22)sin()()sin cos (i j m t
a s k j i m ijm ijm j i e
z s k J m B m A u ρϕϕ
代入初始条件：
∑∑∑∞
=∞
=∞
=+=111)sin()()sin cos ()(i j m j i m ijm ijm z s k J m B m A f ρϕϕϕ
根据贝塞尔函数和三角函数的正交性：
0=ijm A
7
m
T j L L d k J
d k J
B m j R
i m
R
i m
ijm )
)1(1(21))1(1(2)()(0
20----=
⎰⎰ππρ
ρρρρρ
最终得
∑∑∑
⎰⎰∞=∞=∞
=+-+++++=
+100
)(12120
2
02
)
12)(12()sin()())12sin(()()(162
2122i j m t
a s k j i m R i m R
i m
j m e
z s k J m d k J d k J
T
u j i ρϕρ
ρρρ
ρρπ
附必要公式：
1)(0=x P θcos )(1==x x P
)12cos 3(25.0)13(5.0)(22+=-=θx x P θsin )1()(2/1211=-=x x P θ2sin 5.1)3()1()(2/1212=-=x x x P θ2222sin 3)1(3)(=-=x x P。