一、单项选择题（每小题2分）
1． 齐次边界条件0),(),0(==t u t u x x π的本征函数是_______。

A) 3,2,1 sin =n nx B) ,2,1,0 cos =n nx C) 2,1,0 )21sin(=+n x n D) 2,1,0 )2
1cos(=+n x n
2． 描述无源空间静电势满足的方程是________。

A) 波动方程 B)热传导方程
C) Poisson 方程 D)Laplace 方程 3． 半径为R 的圆形膜，边缘固定，其定解问题是⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧====∇-∂∂===)
(| ),(|0|0),(),(0t 02222ρψρϕρρρt t R u u u t u a t t u
其解的形式为∑∞
==100)()(),(m m m k J t T t u ρρ，下列哪一个结论是错误的______。

A) )()()()(20222
t T k a t T dt
d t T m m m m -=满足方程 B ）圆形膜固有振动模式是)sin(0t ak m 和)cos(0t ak m
C ）0m k 是零阶Bessel 函数的第m 个零点。

D ）)()(00ρρm m k J R =满足方程0)(2202=+'+''R k R R m
ρρρ 4． )(5x P 是下列哪一个方程的解_________。

A ）0202)1(2=+'-''-y y x y x
B ）0252)1(2
=+'-''-y y x y x
C ）0302)1(2=+'-''-y y x y x
D ）052)1(2=+'-''-y y x y x
5． 根据整数阶Bessel 函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的________。

A ）)(2)()(1
20x J x J x J '=- B ）)()()(111x J x x J x xJ '=+ C ）)(2)()(210x J x x J x J =- D ）)(2)()(120x J x
x J x J '=+
二、填空题（每题3分）
1． 定解问题⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧====><<=-====0 ,00
,0)0,0( sin cos 0002t t t l x x x x xx tt u u u u t l x t l x A u a u ωπ用本征函数发展开求解时，关于T(t)满足的方程是：
2． Legendre 多项式)(x P l 的x 的值域是______________________。

Bessel 函数)(x J n 的x 的值域是______________________。

3． 一圆柱体内的定解问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===<=∆===)
( ),(0 ,0210ρρρρf u f u u a u h z z a
1）则定解问题关于ρ满足的方程是：_____________________________; 相应方程的解为___________________________;
2）关于z 满足的方程是_______________________________________;
4． 计算积分
⎰-11)(dx x xP l 5． 计算积分⎰a dx x xJ 00)(
三、（10分）长为l 的弦，两端固定，初始位移为21x +，初始速度为4x ，写出此物理问题
的定解问题。

四、（10分）定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<=-===0
0 ,)0 ,0( ,000t l x x xx t u u t u t l x Du u ，若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题
五、（10分）利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题
⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=-==x u x u t x u u t t t xx tt sin ||)0,(040
0 六、（15分）用分离变量法求解定解问题
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧====><<=-====0,4sin 0 ,0)0,0( 00002t t t l x x xx tt u x l u u u t l x u a u π 计算积分⎰-+=1
11)()(dx x P x xP I l l
七、（15分）有一半径为R 的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为
ϕϕρρ2cos 2|),(==R u ，试求圆盘上稳定的温度分布),(ϕρu 。

八、（15分）设有一半径为R 的球壳，其球壳的电位分布θ2cos |==R r u ，写出球外的电位满足的定解问题，并求球外的电位分布
参考公式
（1） 柱坐标中Laplace 算符的表达式
（2） Legendre 多项式
（3） Legendre 多项式的递推公式
（4） Legendre 多项式的正交关系
（5） 整数阶Bessel 函数
（6） Bessel 函数的递推关系。