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扬州大学试题纸
( 2010－2011学年第 二 学期)
物 理 学院 微电、物理09级 课程 数学物理方法（A ）卷 题目 一 二 三 四 总分 得分
一、填空题（共20分,2分/题）
1. 数量场23
2
2+=x z y z u 在点)1,0,2(-M 处沿24
23=-+ l xi xy j z k 方向
的方向导数为 .
2. 设 A 为一矢性函数, ∇表示哈密顿算符, 则()∇⋅∇⨯=
A .
3. 在三维直角坐标系中，矢径=++
r xi yj zk ,r r = ,∇表示哈密顿算符,
则当0≠r 时，有3⎛⎫
⎪⎝⎭
∇⨯=
r r .
4. 在二维平面极坐标系下，调和量∆=u . 5．考虑长为l 的均匀细杆的导热问题，若杆0x =的一端保持为恒温零度，
l x =的一端绝热，用u 表示温度，则对应的边界条件为 . 6．方程20,(,0)tt xx u a u x t -=-∞<<∞>的通解可以表示为
()u x,t = .
7. l 阶勒让德多项式的微分表示式为)(x P l = . 8. 设)(x P l 为l 阶勒让德多项式，则积分1
21002001()()-=⎰x P x P x dx .
9. 常微分方程22(9)0'''++-=x y xy x y 为 阶Bessel 方程.
10. 利用Bessel 函数的递推公式,计算积分1
210()=⎰x J x dx .
二、计算题（共40分，10分/题）
1. 设矢量场(),x y z k A =++
S 为圆锥面222(0)+=≤≤x y z z h 及平面z h =所围成的闭合曲面, ∇表示哈密顿算符.
(1) 求A ∇⋅
;
(2) 求矢量场A
从S 内穿出S 的通量Φ.
2. 在圆形域内求下列定解问题：
24(,)0,(,02)
1sin 224
=∆=<≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩a u a u a ρρϕρϕπϕ
3. 求下列定解问题：
2
000
sin (0,0)|0,|0
|0,|0
tt
xx x x l t t t x u a u x l t l
u u u u π====⎧-=<<>⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎩
4. 00x =在的邻域用级数法求解下列常微分方程:
220-=''x y y
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三、应用题（共24分，12分/题）
1. 用两手拉一长度为l的均匀杆，使杆伸长了
3
cos2cos
+
x x
l l
ππ
后放手任
其自由振动，求解此杆作自由纵振动的运动规律.
【要求：用a表示振动在杆上传播的速度，列出定解问题并求解】
2. 半径为a的空心球，球内部区域没有电荷分布，球面上的电势为3sin2cos
θϕ，求球内部稳定的电势分布.
【要求：在球坐标系中列出定解问题并求解】
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四、证明题（共16分，8分/题）
1. 设矢量场(2)(42)(26)+=++++-
A x y i x y z j y z k
证明: A
为调和场.
2．圆柱型空腔内电磁振荡满足如下定解问题：
20000,(,0)0
===⎧∆+=<<<⎪⎪⎪=⎪⎨
⎪⎪
∂∂⎪==⎪∂∂⎩z z h
u k u z h u u u z z ρρρρ 试证明电磁振荡的固有频率为：
2
2
(0)
0⎡⎤⎛⎫
==+⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎣⎦n np x p ck c h πωρ.
(0)
1,2,3,;0,1,2,3,)== n x Bessel n p （其中是零阶函数的零点，
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