2019-2020学年九年级（上）第三次月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”规定向东为正，向西为负．若向东走70m，记作+70m，则﹣20m表示（）A．向西走20m B．向东走20m C．向西走50m D．向东走50m2．28cm接近于（）A．七年级数学课本的厚度B．特型演员王峰军身高C．六层教学楼的高度D．长白山主峰的高度3．如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（）A．B．C．D．4．不等式组中的两个不等式的解集在同一数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．26．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，顺次连结A、B、C、O、D．若OD∥BC，∠COD＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．如图，某学校操场旗杆上高高飘扬着五星红旗，数学兴趣小组想测量旗杆的高度．在离旗杆底部am的A处，用高1.5m的测角仪DA测得旗杆顶角C的仰角为α，则下列计算旗杆的高度BC正确的是（）A．（a sinα+1.5）m B．（a cosα+1.5）mC．（a tanα+1.5）m D．（+1.5）m8．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线分别交函数y ＝（x＞0，k＞2）的图象于点B、C，过点C作x轴的垂线交y＝（x＞0）的图象于点D，连结BC、OC、OD．若点A、C的横坐标分别为1和2，则△ABC与△OCD的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．6二．填空题（共7小题）9．与+1最接近的整数是．10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．11．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，AE与BC交于点F，若∠C＝20°，则∠CFE的大小是．12．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，连结BD、BE，则∠BDE的大小为．13．如图，O是等边△ABC外接圆的圆心，连结OA、OB、OC，以点A为圆心，以⊙O的直径为半径画弧分别交AB、AC的延长线于点D、E．若OA＝2，则图中阴影部分图形的面积和为（结果保留根号和π）．14．如图，在平直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣mx﹣1的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1﹣n＝0（n为实数）在0＜x＜3的范围内有解，则n的取值范围是．15．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容．请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】（1）在图①中，若AB＝2，∠AOD＝120°，则四边形EFGH的面积为．（2）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，O是其内任意一点，连接O与菱形ABCD 各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在AO、BO、CO、DO上，EO＝2AE，EF∥AB ∥GH，且EF＝GH，若△EFO与△GHO的面积和为4，则菱形ABCD的周长为．三．解答题（共9小题）16．题目：若a2+a﹣4＝0，求代数式（a+2）2+3（a+1）（a﹣1）的值．小明的解法如下：原式＝a2+4a+4+3（a2﹣1）（第一步）＝a2+4a+4+3a2﹣1（第二步）＝4a2+4a+3（第三步）由a2+a﹣4＝0得a2+a＝4，（第四步）所以原式＝4a2+4a+3＝4（a2+a）+3＝4×4+3＝19（第五步）根据小明的解法解答下列问题：（1）小明的解答过程在第步上开始出现了错误，错误的原因是；（2）请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程．17．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE＝DF，BE、CF相交于点G．求证：BE⊥CF．18．甲、乙两地相距300km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用0.5h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的1.5倍，求特快列车平均行驶的速度．19．图①、图②都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中画出一个以AB为一边的等腰△ABC，使点C在格点上，且面积为；（2）在图②中画出一个以AB为一边的等腰△ABD，使点D在格点上，且tan∠DAB＝3，并直接写出△ABD底边上的高．20．某小区有一半径为8m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3m处达到最高，高度为5m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？21．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，它的外接圆的圆心O在其内部，连结OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠BAD＝105°，⊙O的半径为2，求劣弧AB的长．22．周末，小明匀速步行去省图书馆看书，当出发15min后距家1800m时，爸爸驾车匀速从家沿相同路线追赶小明，追上小明后，二人驾车继续按原速前行到达图书馆，小明留在图书馆看书，爸爸驾车继续按原速去单位办事设小明与爸爸之间的路程y（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象如图所示．（1）小明步行速度是m/min，爸爸驾车速度是m/min：（2）当爸爸从省图书馆到单位时，求y与x之间的函数关系式；（3）当爸爸与省图书馆之间的路程为2160m时，直接写出爸爸驾车行驶的时间．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．动点P从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，在边AC上以每秒3个单位长度的速度运动，在边BC上以每秒4个单位长度的速度运动，到点B停止，当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB于点Q；以Q为直角顶点向PQ右侧作Rt△PQD，且QD＝PQ．设△PQD与△ABC 重叠部分图形的面积为S，点P运动的时间为t（s）（1）当点P在边AC上时，求PQ的长（含t的代数式表示）；（2）点D落在边BC上时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）设PD的中点为E，作直线CE．当直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分时，直接写出t的值．24．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点P（m，y）Q（m，y0），m为任意实数．若y0＝，则称点Q是点P的变换点．例如：若点P（1，y）在直线y＝x上，点P的变换点Q在函数y＝的图象上设点P（m，y）在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G（1）求图象G对应的函数关系式；（2）设图象G与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，连结AC、BC，求△ABC的面积；（3）当﹣2≤x≤m时，若图象G的最高点与最低点之间的距离不大于，直接写出m的取值范围；（4）设点P（，y）在函数y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G1，图象G1与x轴的交点为M、N（点M在点N的左侧），连结MN，将MN 沿y轴向上平移一个单位得到线段M'N'，当图象G1与线段M'N'只有一个交点时，求a 的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”规定向东为正，向西为负．若向东走70m，记作+70m，则﹣20m表示（）A．向西走20m B．向东走20m C．向西走50m D．向东走50m【分析】根据正负数的意义得出答案，正负数表示具有相反意义的量．【解答】解：根据正负数表示数的意义得，﹣20n表示向西走20m，故选：A．2．28cm接近于（）A．七年级数学课本的厚度B．特型演员王峰军身高C．六层教学楼的高度D．长白山主峰的高度【分析】28cm＝256cm，数学课本的厚度远远小于这个数，姚明的身高为2.3m左右，则比较接近；旗杆的高度和十层楼的高度都大于这个数．【解答】解：28cm＝256cm≈特型演员王峰军身高．故选：B．3．如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从左面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：．故选：B．4．不等式组中的两个不等式的解集在同一数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜2，故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．在数轴上表示为：．故选：C．5．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，∴OB＝＝＝6，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C．6．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，顺次连结A、B、C、O、D．若OD∥BC，∠COD＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】连接OB，平行线的性质得到∠C＝∠COD＝40°，根据等腰三角形和圆周角定理即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵OD∥BC，∠COD＝40°，∴∠C＝∠COD＝40°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C＝40°，∴∠BOC＝100°，∴∠BOD＝140°，∴∠A＝BOD＝70°，故选：D．7．如图，某学校操场旗杆上高高飘扬着五星红旗，数学兴趣小组想测量旗杆的高度．在离旗杆底部am的A处，用高1.5m的测角仪DA测得旗杆顶角C的仰角为α，则下列计算旗杆的高度BC正确的是（）A．（a sinα+1.5）m B．（a cosα+1.5）mC．（a tanα+1.5）m D．（+1.5）m【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△DEC，解其可得DE的长，进而借助BC＝EC+EB可解即可求出答案．【解答】解：过点D作DE⊥BC交BC于E，在△CDE中，有CE＝tanα×DE＝a tanα，故BC＝BE+CE＝（1.5+a tanα）m，答：旗杆的高度BC是（a tanα+1.5）m．故选：C．8．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线分别交函数y ＝（x＞0，k＞2）的图象于点B、C，过点C作x轴的垂线交y＝（x＞0）的图象于点D，连结BC、OC、OD．若点A、C的横坐标分别为1和2，则△ABC与△OCD的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到点A，B，C，D的坐标，再根据三角形面积计算公式，即可得到△ABC与△OCD的面积之和．【解答】解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点A的横坐标为1，∴点A的坐标为（1，2），又∵AC⊥y轴，点C的横坐标为2，∴点C的坐标为（2，2），即k＝4，又∵CD⊥x轴，点D在函数y＝的图象上，∴D（2，1），∵AB⊥x轴，∴B（1，4），∴△ABC与△OCD的面积之和为×（4﹣2）×（2﹣1）+×（2﹣1）×2＝2，故选：A．二．填空题（共7小题）9．与+1最接近的整数是 4 ．【分析】先求出的范围是在3和4之间，再求出的范围是在4和5之间，再判断4和5谁最接近即可．【解答】解：∵＜＜，∴3＜＜4，∴4＜+1＜5，∵9和16中比较接近11的是9，∴与+1最接近的整数是4．故答案为：4．10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 1 ．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．11．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，AE与BC交于点F，若∠C＝20°，则∠CFE的大小是60°．【分析】先根据旋转的性质得∠CAE＝60°，再利用三角形内角和定理计算出∠AFC＝100°，然后根据邻补角的定义易得∠CFE＝60°．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转40°得△ADE，∴∠CAE＝40°，∵∠C＝20°，∴∠AFC＝120°，∴∠CFE＝60°．故答案为：60°．12．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，连结BD、BE，则∠BDE的大小为72°．【分析】根据圆内接四边形的性质和正五边形的内角解答即可；【解答】解：∵正五边形ABCDE，∴∠A＝108°，∴∠BDE＝180°﹣108°＝72°，故答案为：72°．13．如图，O是等边△ABC外接圆的圆心，连结OA、OB、OC，以点A为圆心，以⊙O的直径为半径画弧分别交AB、AC的延长线于点D、E．若OA＝2，则图中阴影部分图形的面积和为π﹣3（结果保留根号和π）．【分析】求出BC＝2，利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形ADE的面积﹣△ABC 的面积．【解答】解：作OM⊥BC于M，如图所示：则CM＝BM，∠OBM＝30°，OB＝OA＝2，∴OM＝OB＝1，BM＝OM＝，∴BC＝2BM＝2，利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形ADE的面积﹣△ABC的面积＝﹣×（2）2＝π﹣3，故答案为：＝π﹣3．14．如图，在平直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣mx﹣1的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1﹣n＝0（n为实数）在0＜x＜3的范围内有解，则n的取值范围是﹣2≤n＜2 ．【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1，将一元二次方程x2﹣mx﹣1﹣n＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x﹣1与函数y＝n的有交点，再由0＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解；【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣mx﹣1的对称轴为直线x＝1，∴m＝2，∴y＝x2﹣2x﹣1，∴一元二次方程x2﹣mx﹣1﹣n＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x﹣1与函数y＝n的有交点，∵方程在0＜x＜3的范围内有实数根，当x＝0时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝2；函数y＝x2﹣2x﹣1在x＝1时有最小值﹣2；∴﹣2≤n＜2；故答案为﹣2≤n＜2．15．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容．请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】（1）在图①中，若AB＝2，∠AOD＝120°，则四边形EFGH的面积为．（2）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，O是其内任意一点，连接O与菱形ABCD 各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在AO、BO、CO、DO上，EO＝2AE，EF∥AB ∥GH，且EF＝GH，若△EFO与△GHO的面积和为4，则菱形ABCD的周长为24 ．【分析】【教材呈现】由矩形的性质得出OA＝OB＝OC＝OD，再证出OE＝OF＝OG＝OH，即可得出结论．【结论应用】（1）证明△OEF为等边三角形，得出∠EFO＝60°，可求出EF＝1，EH＝，则答案可求出；（2）过点G作GN⊥EF于点N，由条件可知四边形EFGH为平行四边形，可得∠EFG＝60°，设EF＝x，则NG＝，由△EFO与△GHO的面积和为4列出方程求出x，证明△OEF ∽△OAB，可得＝，可求出AB的长．则答案可求出．【解答】【教材呈现】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形，∵EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．【结论应用】（1）解：∵AB＝2，∴EF＝，∵∠BAD＝90°，∴∠FEH＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠EOF＝60°，∴△OEF为等边三角形，∴∠EFO＝60°，∴，∴四边形EFGH的面积为1×，故答案为：．（2）过点G作GN⊥EF于点N，∵EF∥GH，且EF＝GH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FG∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝∠EFG＝60°，设EF＝x，则NG＝，∵△EFO与△GHO的面积和为4，∴，解得x＝4，∴EF＝4，∵EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴，∵EO＝2AE，∴，∴AB＝6，∴菱形ABCD的周长为24．故答案为：24．三．解答题（共9小题）16．题目：若a2+a﹣4＝0，求代数式（a+2）2+3（a+1）（a﹣1）的值．小明的解法如下：原式＝a2+4a+4+3（a2﹣1）（第一步）＝a2+4a+4+3a2﹣1（第二步）＝4a2+4a+3（第三步）由a2+a﹣4＝0得a2+a＝4，（第四步）所以原式＝4a2+4a+3＝4（a2+a）+3＝4×4+3＝19（第五步）根据小明的解法解答下列问题：（1）小明的解答过程在第二步上开始出现了错误，错误的原因是去括号时，未将﹣1也乘以3 ；（2）请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程．【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则判断即可；（2）直接利用整式的混合运算法则计算，进而将已知代入求出答案．【解答】解：（1）小明的解答过程在第二步上开始出现了错误，错误的原因是：去括号时，未将﹣1也乘以3；故答案为：二，去括号时，未将﹣1也乘以3；（2）原式＝a2+4a+4+3（a2﹣1）（第一步）＝a2+4a+4+3a2﹣3（第二步）＝4a2+4a+1（第三步）由a2+a﹣4＝0得a2+a＝4，（第四步）所以原式＝4a2+4a+1＝4（a2+a）+1＝4×4+1＝17（第五步）．17．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE＝DF，BE、CF相交于点G．求证：BE⊥CF．【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCE＝90°，BC＝CD，∵CE＝DF，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠BCG+∠DCF＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∴∠BGC＝90°，∴BE⊥CF．18．甲、乙两地相距300km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用0.5h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的1.5倍，求特快列车平均行驶的速度．【分析】设特快列车平均行驶的速度为xkm/h，则高铁列车的平均行驶速度为1.5xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用0.5h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设特快列车平均行驶的速度为xkm/h，则高铁列车的平均行驶速度为1.5xkm/h，依题意，得：﹣＝0.5，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．答：特快列车平均行驶的速度为200km/h．19．图①、图②都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中画出一个以AB为一边的等腰△ABC，使点C在格点上，且面积为；（2）在图②中画出一个以AB为一边的等腰△ABD，使点D在格点上，且tan∠DAB＝3，并直接写出△ABD底边上的高．【分析】（1）根据勾股定理可知AC为3×4格对角线，即可在图①中画出一个以AB为一边的等腰△ABC，使点C在格点上，且面积为；（2）根据tan∠DAB＝3，即可在图②中画出一个以AB为一边的等腰△ABD，使点D在格点上，且tan∠DAB＝3，△ABD底边上的高为3的三角形．【解答】解：（1）如图①：S△ABC＝×5×3＝．∴△ABC即为所求作的图形；（2）如图②：△ABD即为所求作的图形．作DE⊥AD于点D，DF⊥AB于点F，∴S△ABD＝DA•BE＝AB•DF∴•BE＝5×3∴BE＝．所以△ABD底边上的高为．20．某小区有一半径为8m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3m处达到最高，高度为5m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论．【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，解得：a＝﹣，∴水柱所在抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，解得：x1＝﹣1，x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．21．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，它的外接圆的圆心O在其内部，连结OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠BAD＝105°，⊙O的半径为2，求劣弧AB的长．【分析】（1）连接AO，根据圆周角定理和平行线的性质以及切线的判定定理即可得到结论；（2）连接OB，根据已知条件得到∠OAB＝15°，根据三角形的内角和得到∠AOB＝150°，根据弧长的计算公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AO，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠B＝90°，∵OC∥AD，∴∠OAD＝90°，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接OB，∵∠BAD＝105°，∠OAD＝90°，∴∠OAB＝15°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝15°，∴∠AOB＝150°，∴劣弧AB的长＝＝π．22．周末，小明匀速步行去省图书馆看书，当出发15min后距家1800m时，爸爸驾车匀速从家沿相同路线追赶小明，追上小明后，二人驾车继续按原速前行到达图书馆，小明留在图书馆看书，爸爸驾车继续按原速去单位办事设小明与爸爸之间的路程y（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象如图所示．（1）小明步行速度是120 m/min，爸爸驾车速度是720 m/min：（2）当爸爸从省图书馆到单位时，求y与x之间的函数关系式；（3）当爸爸与省图书馆之间的路程为2160m时，直接写出爸爸驾车行驶的时间．【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”解答即可；（2）利用待定系数法解答即可；（3）根据爸爸驾车速度求出小明家到图书馆的距离，即可求出当爸爸与省图书馆之间的路程为2160m时，爸爸驾车行驶的时间．【解答】解：（1）小明步行速度是：1800÷15＝120（m/min），爸爸驾车速度是：3600÷（25﹣20）＝720（m/min），故答案为：120；720；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得，解得，∴y与x之间的函数关系式为：y＝720x﹣1440；（3）小明家到图书馆的距离为：720×（20﹣15）＝3600（m），（3600﹣2160）÷720＝2（min），（3600+2160）÷720＝8（min），答：当爸爸与省图书馆之间的路程为2160m时，爸爸驾车行驶的时间为2min或8min．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．动点P从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，在边AC上以每秒3个单位长度的速度运动，在边BC上以每秒4个单位长度的速度运动，到点B停止，当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB于点Q；以Q为直角顶点向PQ右侧作Rt△PQD，且QD＝PQ．设△PQD与△ABC 重叠部分图形的面积为S，点P运动的时间为t（s）（1）当点P在边AC上时，求PQ的长（含t的代数式表示）；（2）点D落在边BC上时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）设PD的中点为E，作直线CE．当直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分时，直接写出t的值．【分析】（1）由PQ∥BC，推出△APQ∽△ACB，可得＝，由此构建关系式即可解决问题．（2）当点D落在BC上时，四边形PCDQ是矩形，根据PC＝DQ，构建方程解决问题即可．（3）分三种情形：①如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是△PQD．②如图3﹣2中，当＜t＜2时，重叠部分是四边形PQMN．③如图3﹣3中，当2＜t＜4时，重叠部分是△PQN，分别求解即可．（4）分两种情形：①如图4﹣1中，设直线CE交DQ于N，连接OE．当QN＝2DN时，直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分．②如图4﹣2中，如图4﹣2中，设直线CE交PQ 于N，连接OE，延长QD交CE于M．当QN＝2PN时，直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，当点P在AC上时，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ACB，∴＝，∴＝，∴PQ＝4t．（2）当点D落在BC上时，四边形PCDQ是矩形，∴PC＝DQ，∵PQ＝4t，DQ＝PQ，∴DQ＝6t，∴6﹣3t＝6t，解得t＝．（3）①如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是△PQD．S＝•PQ•DQ＝×4t×6t＝12t2．②如图3﹣2中，当＜t＜2时，重叠部分是四边形PQMN，S＝S△PQD﹣S△DMN＝12t2﹣.×（9t﹣6）×（9t﹣6）＝﹣15t2+36t﹣12．③如图3﹣3中，当2＜t＜4时，重叠部分是△PQN，由题意PC＝4（t﹣2），PB＝BC﹣PC＝16﹣4t＝4（4﹣t），∴PQ＝3（4﹣t），DQ＝（4﹣t），∵PB∥DQ，∴PN：DN＝PB：DQ＝8：9，∴S＝•S△PQD＝••3（4﹣t）•（4﹣t）＝（4﹣t）2．综上所述，S＝．（4）①如图4﹣1中，设直线CE交DQ于N，连接OE．当QN＝2DN时，直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分，∵PE＝DE，PC∥DN，∴＝＝1，∴PC＝DN，∴QN＝2PC，DQ＝3PC，∴6t＝3（6﹣3t），∴t＝．②如图4﹣2中，如图4﹣2中，设直线CE交PQ于N，连接OE，延长QD交CE于M．当QN＝2PN时，直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分，∵PC∥QM，PE＝ED，∴＝＝1，＝＝，∴PC＝DM＝4（t﹣2），QM＝2PC，∴（4﹣t）+4（t﹣2）＝2×4（t﹣2），解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．24．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点P（m，y）Q（m，y0），m为任意实数．若y0＝，则称点Q是点P的变换点．例如：若点P（1，y）在直线y＝x上，点P的变换点Q在函数y＝的图象上设点P（m，y）在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G（1）求图象G对应的函数关系式；（2）设图象G与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，连结AC、BC，求△ABC的面积；（3）当﹣2≤x≤m时，若图象G的最高点与最低点之间的距离不大于，直接写出m的取值范围；（4）设点P（，y）在函数y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G1，图象G1与x轴的交点为M、N（点M在点N的左侧），连结MN，将MN 沿y轴向上平移一个单位得到线段M'N'，当图象G1与线段M'N'只有一个交点时，求a 的取值范围．【分析】（1）由题意得：函数G的表达式为：y＝，（2）点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），点C（0，3）或（0，﹣），故△ABC的面积＝×AB×OC＝6或3；（3）分m≤﹣1、﹣1≤m≤1、1≤m≤3、m≥3三种情况，分别求解即可；（4）分当a＜0、a＞0两种情况求解即可．【解答】解：（1）由题意得：函数G的表达式为：y＝，（2）如图1，令y＝0，解得：x＝﹣1或3，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），函数对称轴为：x＝1，点C（0，3）或（0，﹣）；故△ABC的面积＝×AB×OC＝6或3；（3）①当m≤﹣1时，如图2，当﹣2≤x≤m时，图象G的最高点为R，最低点B，点R（﹣2，），则y R﹣y B，即﹣（﹣m2+2m+3），解得：1﹣≤m≤1+，故1﹣≤m≤﹣1；②当﹣1≤m≤1时，如图3所示，点A（﹣2，）当点A为最高点时，y A﹣y C≤，即+（﹣m2+2m+3），解得：m为任意实数；点B是高点时，y B﹣y C，即（﹣m2+2m+3），解得：m≥2或m≤0，故﹣1≤m≤0；③当1≤m≤3时，如图4所示，点A（﹣2，），顶点E（1，﹣2），当点A是最高点时，y A﹣y E＝，符合条件；当点C是最高点时，y C﹣y E，即（﹣m2+2m+3），解得：1﹣≤m≤1，故1≤m≤1+；④当m≥3时，如图5所示，点A（﹣2，），顶点E（1，﹣2），（Ⅰ）当点A是最高点时，当点E是最低点时，y A﹣y E＝；当点D时最低点时，y A﹣y D≤，即﹣（﹣m2+2m+3）≤，解得：3≤m≤1+；故3≤m≤1+；（Ⅱ）当点B是最高点时，当点E是最低点时，y B﹣y E＝，同理可得：m≥4，当点D时最低点时，y B﹣y D≤，同理可得：m≤1+，故：3≤m≤1+或m≥4；综上，1﹣≤m≤0或1≤m≤1+或3≤m≤1+或m≥4；（4）①当a＜0时，如图6所示，当x＝﹣时，对应抛物线上的实点R，则y R＞1，即：y＝ax2﹣3ax﹣4a＝a（+﹣4）＞1，解得：a，②当a＞0时，当x＝﹣时，﹣（ax2﹣3ax﹣4a）＜1，即﹣a（+﹣4）＜1，解得：a，即0＜a＜；综上，a的取值范围为：a或0＜a＜．。