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高三第二次月考数学试题(附答案)

高三第二次月考数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是A .π4B .π2C .πD .2π2.在等差数列{a n }中, a 7=9, a 13=-2, 则a 25= ( ) A -22 B -24 C 60 D 643.若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.在等比数列{a n }中,a 3=3,S 3=9,则a 1=( )A .12B .3C .-6或12D .3或125.若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象(部分)如图所示,则ϕω和的取值是A .3,1πϕω==B .3,1πϕω-==C .6,21πϕω==D .6,21πϕω-==6.已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲:则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅甲是乙的( ) A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充要条件D .非充分条件非必要条件7.已知O 是△ABC 内一点,且满足→OA·→OB =→OB·→OC =→OC·→OA ,则O 点一定是△ABC 的 A .内心B .外心C .垂心D .重心8.函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A . ]3,0[πB . ]127,12[ππC . ]65,3[ππD . ],65[ππ9.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象A .向右平移π6个单位长度B .向右平移π3个单位长度C .向左平移π6个单位长度D .向左平移π3个单位长度 10.设)(t f y =是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数,其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:t0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察,函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(]24,0[∈t )( )A .t y 6sin312π+=B .)6sin(312ππ++=t yC .t y 12sin312π+=D . )212sin(312ππ++=t y11.在四边形ABCD 中,,,,b a CD b a BC b a AB 3542--=--=+=其中b a 、不共线,则四边形ABCD 是 A .梯形B .矩形C .菱形D .正方形12.已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则b 2(a 2-a 1)=A .8B .-8C .±8D .98二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上. 13.设α为第四象限的角,若sin3αsin α=135,则tan2α =_____________.14.已知00000000(sin 53cos 23,cos 23cos53),(cos53sin 23,sin 23sin 53)a b ==-,(1,)c t =,c ∥()a b +,则t= .15.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A,B,C 三点共线,则k= . 16.若数列)}({+∈N n a n 为等差数列,则数列)(321+∈+⋯+++=N n na a a ab nn也为等差数列,类比上述性质,相应地,若数列{c n }是等比数列且)(0+∈>N n c n ,则有数列d n = (n ∈N +)也是等比数列.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)化简f (x )=cos(6k +13π+2x )+cos(6k -13π-2x )+23sin(π3+2x )(x ∈R ,k ∈Z),并求函数f (x )的值域和最小正周期.18.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{b n }的第二项,第三项,第四项. ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式.⑵设数列{c n }对任意正整数n ,均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ,求c 1+c 2+c 3+…+c 2005的值.19.(本题满分12分)A 、B 、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为a 、b 、c .若m =(-cos A 2,sin A 2),n =(cos A 2,sin A 2),且m ·n =12.(1)求A ;(2)若a =23,三角形面积S =3,求b +c 的值.20.(本题满分12分)已知)0)(sin ,(cos ),sin ,(cos πβαββαα<<<==b a.⑴求证:b a b a-+与互相垂直;⑵若b k a b a k-+与大小相等,求αβ-(其中k 为非零实数).21.(本小题满分12分)正数数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =a n +1. (1) 试求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n ·a n +1,{b n }的前n 项和为T n ,求证:T n <12.22.(本题满分14分)设关于x的函数2=--+的最小值为()y x a x a2cos2cos(21)f a.f a的表达式;⑴写出()⑵试确定能使1f a=的a值,并求出此时函数y的最大值.()2高三第二次月考数学试题参考答案一、 选择题(每小题5分,共60分):二、填空题(每小题4分,共16分)(13) 34- (14) 3 (15) 23- (16) 1234n n C C C C C三、解答题(共74分,按步骤得分)17.解:)23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=所以函数f (x )的值域为[]4,4-,最小正周期πωπ==2T 。

18.⑴由题意得(a 1+d )(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.⑵当n =1时,c 1=3 当n ≥2时,∵,1n n nn a a b c -=+∴⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n 故132-⋅=n n c 22004200512200532323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=19.解:(1)∵m =(-cos A 2,sin A 2),n =(cos A 2,sin A 2),且m ·n =12,∴-cos 2A 2+sin 2A 2=12,………………………………………………2分即-cosA =12,又A ∈(0,π),∴A =23π………………………………5分(2)S △ABC =12bc ·sin A =12b ·c ·sin 23 π=3,∴bc =4 …………………7分又由余弦定理得:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos120°=b 2+c 2+bc ………………10分 ∴16=(b +c )2,故b +c =4.……………………………………………12分19.解:⑴由),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBDDCBCCBAAB得)sin sin ,cos (cos βαβα++=+b a ,),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又)sin )(sin sin (sin )cos )(cos cos (cos )()(βαβαβαβα-++-+=-⋅+b a b a.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα ).()(b a b a -⊥+∴(2)),sin sin ,cos cos (βαβα++=+k k b a k,1)cos(22+-+=+∴αβk k b a k 同理,)cos(212k k b k a +--=-∴αβ由b k a b a k-=+得)cos(2)cos(2αβαβ--=-k k又,0≠k 所以,0)cos(=-αβ因,0πβα<<<所以.2παβ=-20.(1)∵a n >0,12+=n n a S ,∴2112)1(4,)1(4+=+=--n n n n a S a S ,则当n ≥2时,,2241212----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,而a n >0,∴)2(21≥=--n a a n n 又12,1,12111-==∴+=n a a a S n 则 (2)21)1211(21),121121(21)12)(12(1<+-=∴+--=+-=n T n n n n b n n22.(1)f (x )=1-2a -2a cos x -2sin 2x =1-2a -2a cos x -2(1-cos 2x )=2(cos x -a 2)2-a 22-2a -1。

当a ≥2时,则cos x =1时,f (x )取最小值,即f (a )=1-4a ;当-2<a <2时,则cos x =a 2时,f (x )取最小值,即f (a )=-a 22-2a -1;当a ≤-2时,则cos x =-1时,f (x )取最小值,即f (a )=1;综合上述,有f (a )=21,2,121,22,214, 2.a a a a a a ≤-⎧⎪⎪----<<⎨⎪-≥⎪⎩(2)若f (a )=12,a 只能在[-2,2]内。

解方程-a 22-2a -1=12,得a =-1,和a =-3。

因-1∈[-2,2],故a =-1为所求,此时f (x )=2(cos x +12)2+12;当cos x =1时,f (x )有最大值5。

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