.
习题14求 .
解原式
.
习题15求 .
解 ∵ ， ，原式 = 0.
习题16证明 （ 为常数）。
证 （令 ）
.
习题17求 .
解原式 .
习题18求 .解(连续性法)
原式
.
习题19试证方程 （其中 ）至少有一个正根，并且它不大于 .
证设 ，此初等函数在数轴上连续， 在 上必连续。∵ 而
若 ，则 就是方程 的一个正根。
极限与连续的62个典型习题
习题1设 ，求 .
解记 ，则有
， .另一方面
.
因为 ，故 .利用两边夹定理，知
，其中 .
例如 .
习题2求 .
解
,
即
.
.
利用两边夹定理知
.
习题3求 .
解
习题4求 .
解（变量替换法）令 ，则当 时， 于是,
原式 .
习题5求 .
解（变量替换法）令 ，
原式
.
习题6求 ( 型)。
为了利用重要极限，对原式变形
习题26设数列 由下式给出 求
解 不是单调的，但 单增，并以3为上界，故有极限。设 单减，并以2为下界，设 在等式 两边按奇偶取极限，得两个关系 ，解出 由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此 的极限存在，记 于是 故有 解出 （舍去负值 ）
习题27设 试证 收敛，并求极限。
证 显然 假设 则由 ，可解出 （舍去 ）。下面证明 收敛于 由于
，
递推可得
由两边夹可得 故
习题28设 试证
（1） 存在；（2）当 时， 当 时，
证 显然有 又
单减有下界。 收敛。令 在原式两边取极限得 由此可解出 或 当 时， 归纳假设 则 而 ，有 因此 时 即 时）。
当 时，由 的单减性便知即当 时，即
（当 时）。
习题29
习题30若 收敛，则
证 收敛，设 故 必有界。设
因此 而
习题31求
变量替换求极限法
（为求 有时可令 而 ）
习题32求 （ 为自然数）
解 令 则 因此
习题33求
解 令 且当 时 故 原式
习题34求
解 先求 令 则上式
故原式
用等价无穷小替换求极限
习题35求
解 记
原式=
=
习题36设 与 是等价无穷小， 求证
（1） （2）
证 即
其中 故
（2）
习题37设 为自然数， 试证 使
证∵ ，而
.由两边夹定理知，原式成立.
习题24设 任取 记
试证 存在，并求极限值。
证
故
由题设
由于
故 单调有下界，故有极限。设
由 解出 （舍去 ）。
习题25设 求
解 显然 有上界 ，有下界
当 时
即 假设 则
故 单增。
存在。设 则由 得 即
（舍去负值）。当 时，有
用完全类似的方法可证 单减有下界 ，同理可证
习题57设函数 且 试证
证 因为连续，所以 在 上有界。又因为 所以
当 时，恒有 取 则存在自然数 使得 .记 ，则 且 于是
下面估计上式右边三项的绝对值。
（1）
若 ，则由零点存在定理可知在 内至少存在一点 ，使 .即
故方程 至少有一正根，且不大于 .
习题21求 .
解原式 .
习题20设 满足 且 试证
证 取 使得当 时有
即 亦即 于是递推得
从而由两边夹准则有
习题22用定义研究函数 的连续性。
证首先，当 是连续的。同理，当
也是连续的。而在分段点 处
故
习题23求证 .
（解：先改写为分段函数，结论为：
习题45求 为何值时，函数 ，在 上处处连续。
只需讨论分段点处的连续性：
要在 处连续，必有
习题46设 ，定义 求
解 有下界 即 有 又 ，即 单减有下界，故有极限。设 且 有 有
（舍去负根）（注意：先证明极限的存在是必要的。）
习题47
（解： 单增有上界 ，可解出极限 ）
习题50证明方程 至少有一个正根，且不超过
证 设 而
如果 则 即为 的零点.如果 则由介值定理知 使 即 为所求,故原命题成立.
习题51若函数 可以达到最大值和最小值，求证
证 设 则对任意 有 或有 由 的任意性，可知
习题52设 且恒大于零，证明 在 上连续.
证 任取 由于 在 处连续且大于 使当 时（若 为左端点，则应为 类似处理 有
亦即 是 的第一类（可去）间断点.
习题56求函数 的间断点并判定其类型。
解 的分段点为
是 的第一类（跳跃）间断点。当 时， 在点
处， 无意义，故 是 的间断点。因为
是第一类（可去）间断点。显然 都是极限为 的第二类间断点。当 时， 在点 时， 没定义，故 是 的间断点。又 不存在，故为第二类间断点。
习题48设 且 证明 使
证 若 则取 若 则可取 则令 必有 且 由零点定理知 使 即
习题49(选择题)设 在 内有定义， 连续且 有间断点，则
(A) 必有间断点，(B) 必有间断点，
(C) 必有间断点，(D) 必有间断点.
解 选[D]（(A) 因 的值域可能很小。
(B)反例 而 无间断点。
(C) 总有定义。
习题7求 .解原式
.
习题8求 .解由于
.
而
.故 不存在。
习题9研究下列极限 （1） .
∵ 原式 ，其中 ， . ∴ 上式极限等于0，即 .（2） .
因为 ， , 所以 .
（3） . 原式 .
习题10计算 .
解原式
.
习题11
.
习题12已知 ，求 的值。
解首先 ，∴
原式 ，
∴ ，而 .
习题13下列演算是否正确？
可找到 使当 时有
取 则当 时，有
故知 在 处连续。由 的任意性，知 在 上连续.
习题53设 试讨论 在 处的连续性.
解
时， 在 处连续，
时， 为 的跳跃间断点（第一类间断点).当 时 为第二间断点。
习题54设函数 问当 在 处连续。解
即 时， 在 处连续。
习题55求函数 的间断点，并判定其类型.
解 因当 （ 为任一整数）时， 是 的间断点。再细分，当 时， 不存在，故除 处的任何整数都是 的第二类间断点。因
证 （分析：要证 使 即要证 有根 ） 令 ，显然在 上连续，于是 记 则
又 对函数 应用介值定理，知 使 即存在 使
习题38设 证明
使
证 （分析：将结果变形 ）
记 则
于是
或
由介值定理知
即
习题39设 且 证 使
证 反证法。若不存在点 使 即 均有 连续，不妨设恒有 于是 此与 矛盾。故 使
习题40设 且 又 证明至少有一点 使
证 故 在 上有最大值 和最小值 ,使 于是 由介值定理，知 使
习题41证明方程 至少有一个小于1的正根。
证 设 显然 但
使 即方程 至少有一个小于1的正根 存在。
习题42设 连续，求
解
故 由于 在=1，-1处连续，所以
习题43试证方程 至少有一个实根。
证 做函数 显然
使 即 在 内必有实根。
习题44求 的连续区间。