第一讲 数列的极限一、内容提要 1.数列极限的定义N n N a x n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε,有ε<-a x n .注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-⇔ε另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度.注2 若n n x ∞→lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是唯一的,若N 满足定义中的要求,则取Λ,2,1++N N ,作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N . 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >∃N ∈∀>∃⇔≠∞→00,,0lim ε,有00ε≥-a x n .2. 子列的定义在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列,记为{}k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注1 对每一个k ,有k n k ≥.注2 对任意两个正整数k h ,,如果k h ≥,则k h n n ≥.反之,若k h n n ≤,则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε,有ε<-a x k n .注4 ⇔=∞→a x n n lim {}n x 的任一子列{}k n x 收敛于a . 3.数列有界对数列{}n x ,若0>∃M ,使得对N n >∀,有M x n ≤,则称数列{}n x 为有界数列. 4.无穷大量对数列{}n x ,如果0>∀G ,N n N >∀N ∈∃,,有G x n >,则称{}n x 为无穷大量,记作∞=∞→n n x lim .注1 ∞只是一个记号,不是确切的数.当{}n x 为无穷大量时,数列{}n x 是发散的,即nn x ∞→lim 不存在.注2 若∞=∞→n n x lim ,则{}n x 无界,反之不真.注3 设{}n x 与{}n y 为同号无穷大量,则{}n n y x +为无穷大量. 注4 设{}n x 为无穷大量,{}n y 有界,则{}n n y x ±为无穷大量.注5 设{}n x 为无穷大量,对数列{}n y ,若0>∃δ,,N ∈∃N 使得对N n >∀,有δ≥n y ,则{}n n y x 为无穷大量.特别的,若0≠→a y n ,则{}n n y x 为无穷大量. 5.无穷小量若0lim =∞→n n x ,则称{}n x 为无穷小量.注1 若0lim =∞→n n x ,{}n y 有界,则0lim =∞→n n n y x .注2 若∞=∞→n n x lim ,则01lim=∞→nn x ;若0lim =∞→n n x ,且,N ∈∃N 使得对N n >∀,0≠n x ,则∞=∞→nn x 1lim.6.收敛数列的性质(1)若{}n x 收敛,则{}n x 必有界,反之不真. (2)若{}n x 收敛,则极限必唯一.(3)若a x n n =∞→lim ,b y n n =∞→lim ,且b a >,则N ∈∃N ,使得当N n >时,有n n y x >.注 这条性质称为“保号性”,在理论分析论证中应用极普遍.(4)若a x n n =∞→lim ,b y n n =∞→lim ,且N ∈∃N ,使得当N n >时,有n n y x >,则b a ≥.注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号(式)性”.(5)若数列{}n x 、{}n y 皆收敛,则它们和、差、积、商所构成的数列{}n n y x +,{}n n y x -,{}n n y x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n y x (0lim ≠∞→nn y )也收敛,且有()=±∞→n n n y x lim ±∞→n n x lim n n y ∞→lim ,=⋅∞→n n n y x lim ⋅∞→n n x lim n n y ∞→lim ,=∞→nnn y x lim n n nn y x ∞→∞→lim lim (0lim ≠∞→n n y ).7. 迫敛性(夹逼定理)若N ∈∃N ,使得当N n >时,有n n n z x y ≤≤,且n n y ∞→lim a z n n ==∞→lim ,则a x n n =∞→lim .8. 单调有界定理单调递增有上界数列{}n x 必收敛,单调递减有下界数列{}n x 必收敛. 9. Cauchy 收敛准则数列{}n x 收敛的充要条件是:N m n N >∀N ∈∃>∀,,,0ε,有ε<-m n x x .注 Cauchy 收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据.尽管没有提供计算极限的方法,但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值. 10.Bolzano Weierstrass 定理 有界数列必有收敛子列.11. Λ7182818284.211lim ==⎪⎭⎫⎝⎛+∞→e n nn12.几个重要不等式(1) ,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤ (2) 算术-几何-调和平均不等式:对,,,,21+∈∀R n a a a Λ 记,1)(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M Λ (算术平均值) ,)(1121nni i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏=Λ (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=ni in i ini a n a n a a a na H Λ (调和平均值)有均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤等号当且仅当n a a a ===Λ21时成立. (3) Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0x ∀> 由二项展开式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nn n n n n n x nx x x x ---+=+++++L )1(,1)1(>+>+⇒n nx x n(4)Cauchy -Schwarz 不等式: k k b a ,∀(n k ,,2,1Λ=),有≤⎪⎭⎫⎝⎛∑=21n k k k b a ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21n k k k b a ∑=n k k a 12∑=nk kb12(5)N n ∈∀,nn n 1)11ln(11<+<+ 13. O. Stolz 公式二、典型例题 1.用“N -ε”“N G -”证明数列的极限.(必须掌握) 例1 用定义证明下列各式:(1)163153lim22=+-++∞→n n n n n ; (2)设0>n x ,a x n n =∞→lim ,则a x n n =∞→lim;(97,北大,10分) (3)0ln lim=∞→αn nn )0(>α证明:(1)0>∀ε,欲使不等式ε<=<-<+--=-+-++nn n n n n n n n n n n n 6636635616315322222成立,只须ε6>n ,于是,0>∀ε,取1]6[+=εN ,当N n >时,有ε<<-+-++n n n n n 616315322 即 163153lim22=+-++∞→n n n n n . (2)由a x n n =∞→lim ,0>n x ,知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε,有εa a x n <-,则<+-=-ax a x a x n n n ε<-aa x n 于是,N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε,有<-a x n ε<-aa x n ,即 a x n n =∞→lim .(3)已知n n ln >,因为<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<=<αααααααn n n n n n 1ln 2ln 2ln 022≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡αααn n 122≤⋅αααnn ][2222244αααααn n n =⋅,所以,0>∀ε,欲使不等式=-0ln αn n ≤αnn ln εαα<24n 成立,只须ααε24⎪⎭⎫ ⎝⎛>n .于是,0>∀ε,取=N 142+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛ααε,当N n >时,有=-0ln αn n≤αn n ln εαα<24n ,即 0ln lim =∞→αn nn .评注1 本例中,我们均将a x n -做了适当的变形,使得ε<≤-)(n g a x n ,从而从解不等式ε<)(n g 中求出定义中的N .将a x n -放大时要注意两点:①)(n g 应满足当∞→n 时,0)(→n g .这是因为要使ε<)(n g ,)(n g 必须能够任意小;②不等式ε<)(n g 容易求解.评注2 用定义证明a x n →)(∞→n ,对0>∀ε,只要找到一个自然数)(εN ,使得当)(εN n >时,有ε<-a x n 即可.关键证明N ∈)(εN 的存在性.评注3 在第二小题中,用到了数列极限定义的等价命题,即: (1)N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε,有εM a x n <-(M 为任一正常数). (2)N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε,有k n a x ε<-)(N k ∈.例2 用定义证明下列各式: (1)1lim=∞→n n n ;(92,南开,10分) (2)0lim =∞→n kn an ),1(N k a ∈>证明:(1)(方法一)由于1>n n (1>n ),可令λ+=1n n (0>λ),则()>++-++=+==n n nnn n n n n λλλλΛ22)1(1)1(22)1(λ-n n (2>n ) 当2>n 时,21nn >-,有 >n >-22)1(λn n 2222)1(44-=nn n n λ即 nn n210<-<.0>∀ε,欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立,只须24ε>n .于是,0>∀ε,取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2εN ,当N n >时,有 1-nn ε<<n 2,即 1lim =∞→nn n .(方法二)因为n n n n n n n n n n n n n212211)111(112+<-+=++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤-Λ48476Λ个, 所以1-nn n2<,0>∀ε,欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立,只须24ε>n .于是,0>∀ε,取142+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ,当N n >时,有1-nn ε<<n2,即 1lim=∞→nn n .(2)当1=k 时,由于1>a ,可记λ+=1a (0>λ),则>++-++=+=n n n n n n a λλλλΛ22)1(1)1(22)1(λ-n n (2>n ) 当2>n 时,21nn >-,于是有 <<n an 02242)1(λλn n n n <-.0>∀ε,欲使不等式0-n a n <<n a n ελ<24n 成立,只须24ελ>n .对0>∀ε,取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2ελN ,当N n >时,有0-n a n <<n an ελ<24n . 当1>k 时,11>k a (1>a ),而=n ka n kn k a n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(1.则由以上证明知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε,有ε<<nka n )(01,即kn k a n ε<<0,故 0lim =∞→n kn an .评注1 在本例中,0>∀ε,要从不等式ε<-a x n 中解得N 非常困难.根据n x 的特征,利用二项式定理展开较容易.要注意,在这两个小题中,一个λ是变量,一个λ是定值. 评注2 从第一小题的方法二可看出算术-几何平均不等式的妙处. 评注3 第二小题的证明用了从特殊到一般的证法.例 用定义证明:0!lim =∞→n a nn (0>a )(山东大学)证明:当10≤<a 时,结论显然成立.当1>a 时,欲使[][][][]ε<⋅<⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=-n a a a n a a a a a a a n a a n !1210!ΛΛ成立, 只须>n [][]ε!1a a a +.于是0>∀ε,取=N [][]1!1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+εa a a ,当N n >时,有[][]ε<⋅<-n aa a n a a n !0!即 0!lim =∞→n a nn . 例 设1<α,用“N -ε”语言,证明:0])1[(lim =-+∞→ααn n n .证明:当0≤α时,结论恒成立. 当10<<α时,0>∀ε,欲使<-+=--+]1)11[(0)1(ααααn n n n εαα<=-+-11)111(nn n只须>n αε-111.于是0>∀ε,取=N 1111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-αε,当N n >时,有 <--+0)1(ααn n εα<-11n即 0])1[(lim =-+∞→ααn n n .2.迫敛性(夹逼定理)n 项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做,通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理.n n n z x y ≤≤,b y n →,c z n →}{n x ⇒有界,但不能说明n x 有极限.使用夹逼定理时,要求n n z y ,趋于同一个数.例 求证:0!lim =∞→n a nn (a 为常数).分析:na m a m a a a a n a n ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=ΛΛ1321!,因a 为固定常数,必存在正整数m ,使1+<≤m a m ,因此,自1+m a 开始,11<+m a ,12<+m a ,1,<n aΛ ,且∞→n 时,0→na. 证明:对于固定的a ,必存在正整数m ,使1+<m a ,当1+≥m n 时,有≤⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=≤n a m a m a a a a n anΛΛ1321!0n am am⋅!, 由于∞→n lim0!=⋅na m am,由夹逼定理得0!lim=∞→n ann ,即 0!lim =∞→n a nn . 评注 当极限不易直接求出时,可将求极限的变量作适当的放大或缩小,使放大、缩小所得的新变量易于求极限,且二者极限值相同,直接由夹逼定理得出结果.例 若}{n a 是正数数列,且02lim21=+++∞→nna a a nn Λ,则0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n Λ. 证明:由()()()n n na a a ⋅⋅⋅Λ2121nna a a n+++≤Λ212,知n n na a a n ⋅⋅⋅⋅Λ21!nna a a n+++≤Λ212即 n n a a a ⋅⋅⋅Λ21n n n n na a a !1221⋅+++≤Λ.于是,n n a a a n ⋅⋅⋅<Λ210nnn nna a a !1221⋅+++≤Λ,而由已知02lim21=+++∞→nna a a nn Λ及∞→n lim0!1=nn故 ∞→n lim0!1221=⋅+++nnn nna a a Λ由夹逼定理得 0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n Λ.评注1 极限四则运算性质普遍被应用,值得注意的是这些性质成立的条件,即参加运算各变量的极限存在,且在商的运算中,分母极限不为0. 评注2 对一些基本结果能够熟练和灵活应用.例如: (1)0lim =∞→nn q (1<q ) (2)01lim=∞→an n (0>a )(3)1lim=∞→nn a (0>a ) (4)1lim =∞→n n n(5)0!lim =∞→n a n n (0>a ) (6)∞→n lim 0!1=n n 例 证明:若a x n n =∞→lim (a 有限或∞±),则a nx x x nn =+++∞→Λ21lim(a 有限或∞±).证明:(1)设a 为有限,因为a x n n =∞→lim ,则11,,0N n N >∀N ∈∃>∀ε,有2ε<-a x n .于是=-+++a n x x x nΛ21()()()na x a x a x n -++-+-Λ21 +-++-+-≤nax a x a x N 121Λnax a x n N -++-+Λ1121εε+<-+<n A n N n n A . 其中a x a x a x A N -++-+-=121Λ为非负数.因为0lim=∞→nAn ,故对上述的22,,0N n N >∀N ∈∃>ε,有2ε<n A .取},m ax {21N N N =当N n >时,有εεε=+<-+++2221a n x x x n Λ即 a nx x x nn =+++∞→Λ21lim.(2)设+∞=a ,因为+∞=∞→n n x lim ,则11,,0N n N G >∀N ∈∃>∀,有G x n 2>,且0121>+++N x x x Λ.于是=+++nx x x nΛ21 ++++n x x x N 121Λ n x x n N +++Λ11G nN G n N n G nx x nN 11122)(21-=->++>+Λ取12N N =,当N n >时,G G nN <12,于是 G G G nx x x n=->+++221Λ.即 +∞=+++∞→nx x x nn Λ21lim(3)-∞=a 时证法与(2)类似.评注1 这一结论也称Cauchy 第一定理,是一个有用的结果,应用它可计算一些极限,例如:(1)01211lim=+++∞→nn n Λ(已知01lim =∞→n n );(2)1321lim 3=++++∞→nnn n Λ(已知1lim =∞→n n n ).评注2 此结论是充分的,而非必要的,但若条件加强为“}{n x 为单调数列”,则由a nx x x nn =+++∞→Λ21lim可推出a x n n =∞→lim .评注3 证明一个变量能够任意小,将它放大后,分成有限项,然后证明它的每一项都能任意小,这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法,例如:若10<<λ,a a n n =∞→lim (a 为有限数),证明:λλλλ-=++++--∞→1)(lim 0221aa a a a n n n n n Λ. 分析:令0221a a a a x nn n n n λλλ++++=--Λ,则01101221)()()()1(a a a a a a a a x n n n n n n n n +-----++-+-+=-λλλλλΛ.只须证 0)()()(101221→-++-+----a a a a a a nn n n n λλλΛ(∞→n )由于a a n n =∞→lim ,故N n N >∀N ∈∃,,有ε<--1n n a a .于是)()()(101221a a a a a a n n n n n -++-+----λλλΛ101111221a a a a a a a a a a n N n N n N N n N n N n n n n -++-+-++-+-≤---+-+----λλλλλΛΛ再利用0lim =∞→n n λ(10<<λ)即得.例 求下列各式的极限: (1))2211(lim 222nn n nn n n n n +++++++++∞→Λ(2)n n n1211lim +++∞→Λ (3)nn nn 2642)12(531lim ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→ΛΛ解:(1)≤+++++++++≤+++++n n n n n n n n n n n n 2222221121ΛΛ1212+++++n n nΛ∵∞→n lim n n n n +++++221Λ∞→=n lim 212)1(2=+++n n n n n , ∞→n lim 1212+++++n n n Λ∞→=n lim 2112)1(2=+++n n n n , 由夹逼定理, ∴21)2211(lim 222=+++++++++∞→nn n n n n n n n Λ (2)n n n n n=+++≤+++≤11112111ΛΛ ∵1lim=∞→nn n ,由夹逼定理,∴11211lim =+++∞→n n nΛ. (3)∵121243212642)12(531212212452321<-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅--⋅⋅⋅≤nn n n n n n n ΛΛΛΛ, ∴12642)12(53121<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅≤⋅n n nn n nΛΛ.∵∞→n lim121=⋅nnn,由夹逼定理,∴12642)12(531lim=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→nn nn ΛΛ.评注nn 212-的极限是1,用此法体现了“1”的好处,可以放前,也可放后.若极限不是1,则不能用此法,例如:)12(53)1(32+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=n n x n ΛΛ,求n n x ∞→lim .解:∵0>n x ,{}n x 单调递减,{}n x 单调递减有下界,故其极限存在. 令a x n n =∞→lim ,∵3221++⋅=+n n x x n n ∴=+∞→1lim n n x n n x ∞→lim ∞→n lim322++n n , a a 21=, ∴0=a ,即 0lim =∞→n n x .)2112111(lim nn +++++++∞→ΛΛ(中科院) 评注 拆项:分母是两项的积,111)1(1+-=+n n n n插项:分子、分母相差一个常数时总可以插项.1111111+-=+-+=+n n n n n 3单调有界必有极限 常用方法:①n n x x -+1;②nn x x 1+;③归纳法;④导数法. )(1n n x f x =+ 0)(>'x f )(x f 单调递增12x x > )()(12x f x f > 23x x > 12x x < )()(12x f x f < 23x x <0)(<'x f )(x f 单调递减 12x x > )()(12x f x f < 23x x <12x x < )()(12x f x f > 23x x >不解决决问题.命题:)(1n n x f x =+,若)(x f 单调递增,且12x x >(12x x <),则{}n x 单调递增(单调递减).例 求下列数列极限: (1)设0>A ,01>x ,)(211nn n x A x x +=+;(98,华中科大,10分) (2)设01>x ,nnn x x x ++=+3331;(04,武大)(3)设a x =0,b x =1,221--+=n n n x x x (Λ,3,2=n ).(2000,浙大) 解:(1)首先注意A x Ax x A x x nn n n n =⋅⋅≥+=+221)(211,所以{}n x 为有下界数列. 另一方面,因为0)(21)(211≤-=-+=-+n nn n n n n x x Ax x A x x x .(或()121)1(21221=+≤+=+A Ax A x x nn n )故{}n x 为单调递减数列.因而n n x ∞→lim 存在,且记为a . 由极限的四则运算,在)(211nn n x Ax x +=+两端同时取极限∞→n ,得)(21aAa a +=.并注意到0>≥A x n ,解得A a =.(2)注意到33)1(333301<++=++=<+nn n n n x x x x x ,于是{}n x 为有界数列.另一方面,由)24)(3()3(2333333333333311211121121-------+++-=++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-=-++=-n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x )2)(3(31121---++-=n n n x x x 知=---+11n n n n x x x x 02133)2)(3(311211121>+=+-++-------n n n n n n x x x x x x . 即n n x x -+1与1--n n x x 保持同号,因此{}n x 为单调数列,所以n n x ∞→lim 存在(记为a ).由极限的四则运算,在n n n x x x ++=+3331两端同时取极限∞→n ,得aaa ++=333.并注意到30<<n x ,解得3=a .(3)由于nn n n n n n n n n a b x x x x x x x x x x x )2()2()2(2201112111--=--=--==--=-+=----+Λ, 又=+-=∑-=+0101)(x x x x n m m m n a a b a a b x nn m mn +-----=+--=∑-=)21(1)21(1)()2(1)(10,所以 n n x ∞→lim 323)(2)21(1)21(1lim)(a b a a b a a b nn +=+-=+-----=∞→. 评注1 求递归数列的极限,主要利用单调有界必有极限的原理,用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性.在说明递归数列单调性时,可用函数的单调性.下面给出一个重要的结论:设)(1n n x f x =+(Λ,2,1=n )I x n ∈,若)(x f 在区间I 上单调递增,且12x x >(或12x x <),则数列{}n x 单调递增(或单调递减).评注2 第三小题的方法较为典型,根据所给的11,,-+n n n x x x 之间的关系,得到n n x x -+1与1--n n x x 的等式,再利用错位相减的思想,将数列通项n x 写成级数的表达式.例 设11,b a 为任意正数,且11b a ≤,设11112----+=n n n n n b a b a a ,11--=n n n b a b (Λ,3,2=n ),则{}n a ,{}n b 收敛,且极限相同. 证明:由≤+=----11112n n n n n b a b a a 111122----n n n n b a b a n n n b b a ==--11,知≤=--11n n n b a b 111---=n n n b b b .则10b b n ≤<,即{}n b 为单调有界数列.又10b b a n n ≤≤<,且=-+=-------1111112n n n n n n n a b a b a a a =+---------111121112n n n n n n n b a b a a b a 0)(11111≥+------n n n n n b a a b a , 所以{}n a 亦为单调有界数列.由单调有界必有极限定理,n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在,且分别记为a 与b .在11112----+=n n n n n b a b a a 与11--=n n n b a b 两端同时取极限∞→n ,得ba ab a +=2与ab b =.考虑到11,b a 为任意正数且110b b a a n n ≤≤≤<. 即得0≠=b a .例 (1)设21=x ,nn x x 121+=+,求n n x ∞→lim ;(2)设01=x ,22=x ,且02311=---+n n n x x x (Λ,3,2=n ),求n n x ∞→lim .解:(1)假设n n x ∞→lim 存在且等于a ,由极限的四则运算,在nn x x 121+=+两端同时取极限∞→n ,得aa 12+=,即21±=a . 又2>n x ,故21+=a .下面只须验证数列{}a x n -趋于零(∞→n ).由于Λ<-<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-<+a x a x a x a x a x n n n n n 41121201a x n-⎪⎭⎫ ⎝⎛<141, 而∞→n lim 0411=-⎪⎭⎫⎝⎛a x n,由夹逼定理得=∞→n n x lim 21+=a . (2)由02311=---+n n n x x x ,知=++n n x x 231=+-123n n x x Λ=+--2123n n x x 62312=+=x x , 则 2321+-=+n n x x . 假设n n x ∞→lim 存在且等于a ,由极限的四则运算,得56=a . 下面只须验证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-56n x 趋于零(∞→n ).由于 =-+-=--56232561n n x x Λ=⎪⎭⎫ ⎝⎛---56321n x 56325632111⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n n x . 显然∞→n lim 056321=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n ,由夹逼定理得56lim =∞→n n x .评注1 两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法,当我们不能直接用单调有界必有极限定理时,可以先假设a x n n =∞→lim ,由递归方程求出a ,然后设法证明数列{}a x n -趋于零.评注2 对数列{}n x ,若满足a x k a x n n -≤--1(Λ,3,2=n ),其中10<<k ,则必有a x n n =∞→lim .这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用.评注3 本例的第二小题还可用Cauchy 收敛原理验证它们极限的存在性.设1a >0,1+n a =n a +n a 1,证明n →∞=1(04,上海交大)证 (1)要证n =1 ,只要证2lim 12nn a n →∞=,即只要证221lim 1(22)2n nn a a n n+→∞-=+-,即证221lim()2n n n a a +→∞-= (2)因1+n a =n a +n a 1,故110n n n a a a +-=>,1211n n na a a +=+ 2211112211()()112n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a +++++-=-+==++=+ 因此只要证21lim0n na →∞=,即只要证lim n n a →∞=∞(3)由110n n na a a +-=>知,{}n a 单调增加,假如{}n a 有上界,则{}n a 必有极限a ,由1+n a =n a +n a 1知,a =a +1a ,因此10a=,矛盾. 这表明{}n a 单调增加、没有上界,因此lim n n a →∞=∞. (证完)4 利用序列的Cauchy 收敛准则例 (1)设21xx =(10≤≤x ),2221--=n n x x x ,求n n x ∞→lim ;(2)设111==y x ,n n n y x x 21+=+,n n n y x y +=+1,求nnn y x ∞→lim ; 解:(1)由21x x =(10≤≤x ),得211≤x .假设21≤k x ,则412≤k x .有=-=+2221k k x x x 21212≤-k x x由归纳法可得 21≤n x . 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---++22222121n p n n pn x x x x x x111111212--+--+--+-≤-+=n p n n p n n p n x x x x x x 021211111→≤-≤≤-+-n p n x x Λ(∞→n ). 由Cauchy 收敛准则知:n n x ∞→lim 存在并记为a ,由极限的四则运算,在2221--=nn x x x 两端同时取极限∞→n ,得022=-+x a a .注意到21≤n x ,故x a x n n ++-==∞→11lim .(2)设nnn y x a =,显然1>n a . 由于nn n n n n n n a y x y x y x a ++=++==+++1112111,则 111111+++-+=-n n n n a a a a ()()<++-=--1111n n n n a a a a <<--Λ141n n a a 12141a a n --. 于是=-+n p n a a n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-+-+-+-++1211Λ n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-≤+-+-+-++1211Λ12124141a a n p n -⎪⎭⎫⎝⎛++<---Λ12141141141a a p n ---⋅=- 03141121→-⋅<-a a n (∞→n ). 由Cauchy 收敛准则知:n n x ∞→lim 存在并记为a . 由极限的四则运算,在nn a a ++=+1111两端同时取极限∞→n ,得22=a . 注意到1>n a ,故=∞→n nn y x lim2lim =∞→n n a . 评注1 Cauchy 收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性. 本例两小题都运用了Cauchy 收敛准则,但细节上稍有不同.其实第一小题可用第二小题的方法,只是在第一小题中数列{}n x有界,因此有11111≤+≤-++xxxxpp.保证了定义中的N仅与ε有关.评注2 “对Np∈∀有()0lim=-+∞→npnnxx”这种说法与Cauchy收敛准则并不一致.这里要求对每个固定的p,可找到既与ε又与p的关的N,当Nn>,有ε<-+npnxx.而Cauchy收敛准则要求所找到的N只能与任意的ε有关.5利用Stolz定理计算数列极限例求下列极限(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++∞→421lim3333nnnnΛ(2)假设1222...lim,lim2nnn na a na aa an→∞→∞+++==证明:(00,大连理工,10)(04,上海交大)证明:Stolz 公式121211222212...(2...(1))(2...)limlim(1)(1)lim 212n n n n n n n n a a na a a na n a a a na n n n n a a n +→∞→∞+→∞++++++++++++=+-+==+(3)nn n ln 1211lim +++∞→Λ (4)n n n n 1232lim++++∞→Λ (5)n n an 2lim ∞→(1>a )6 关于否定命题的证明 (书上一些典型例题需背)a x n n ≠∞→lim{}n x 发散例 证明:nx n 131211++++=Λ发散.例 设0≠n a (Λ,2,1=n ),且0lim =∞→n n a ,若存在极限l a a nn n =+∞→1lim,则1≤l .(北大,20)7杂例(1))1(1321211lim+++⋅+⋅∞→nnnΛ(2)(04,武大)2212lim(...),(1)11()1lim()11(1)1nnnnnnaa a an aaa a aa→∞→∞+++>-=-=---(3) )1()1)(1(lim22nnxxx+++∞→Λ(1<x);(4)设31=a,nnnaaa+=+21(Λ,2,1=n),求:⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=∞→nn aaal111111lim21Λ.。