例1 已知z 1=15，z 2=53，z 3=56，z 4=14，中心距a 12’= a 34’=70mm ，压力角 α=αn=20°，模数m = m n = 2mm ，正常齿。

试问：（1） 如两对齿轮均采用直齿圆柱齿轮，采用何种传动类型，可以满足中心距a 12= a 34=70mm ，此时啮合角各为多大？ （2） 如轮1、2采用斜齿轮，轮3、4仍采用直齿圆柱齿轮（a ） 轮1，2的螺旋角？ （b ） 轮1是否根切？（c ） 轮3、4不发生根切的最小变位系数？（d ） 若为防止根采用变位齿轮，则轮3、4的分度圆、齿顶圆、齿根圆有何变化？解：（1）因为两对齿轮传动的实际中心距为而所以轮3、4采用标准齿轮传动或高度变位齿轮传动可满足实际中心距的要求。

而轮1、2必须采用正传动才可以满足实际中心距的要求。

轮3、4的啮合角为：轮1、2的啮合角为：（2）（a ）轮1、2的螺旋角（b ）轮1会发生根切。

因为斜齿轮不发生根切的最小齿数为：mma a 703412='='()()mmz z m a mm z z m a 70145622)(268531522)(243342112=+=+==+=+=︒=='20αα︒='∴=⨯='='24913.094.07068cos cos αααa a ()()()︒=-=∴=⨯+=+=∴+=73.13971.0702531522cos cos 2212121ββββa z z m z z m a n n（c ）轮3、4不发生根切的最小变位系数为：最小变位系数为正值，说明为了避免根切，要采用正变位；最小变位系数为负值，说明该齿轮在x ≥x min =－2.29的条件下采用负变位也不会根切。

（d ）为防止小齿轮根切，采用高度变位齿轮传动。

因为轮4为正变位齿轮，所以其分度圆不变，齿顶圆增大，齿根圆也增大。

因为轮3为负变位齿轮，所以其分度圆不变，齿顶圆减小，齿根圆也减小。

例 2 用齿条刀具加工一直齿圆柱齿轮。

设已知被加工齿轮轮坯的角速度 ω1=5rad/s ，刀具移动速度为0.375m/s ，刀具的模数m=10mm ，压力角α=20°。

（1）求被加工齿轮的齿数z 1；（2）若齿条中线与被加工齿轮中心的距离为77mm ，求被加工齿轮的齿厚； （3）若已知该齿轮与大齿轮相啮合时的传动比i 12=4，当无齿侧间隙的标准安装时，中心距a=377mm ，求这两个齿轮的节圆半径 r 1'，r 2'及其啮合角α'。

解：（1）由于用齿条刀具加工齿轮时，被加工齿轮的节圆与分度圆相重合，且与刀具的节线做范成运动，则有r 1ω1=v 刀 而 r 1=m z 1 / 2 故得 z 1=2v 刀/（m ω1）=2×375/（10×5）=15（2）因为刀具安装的距离L=77mm ，大于被加工齿轮的分度圆半径 r 1=75mm ，则被加工齿轮为正变位，其变位量为x m = L －r 1= 77－75 =2 mm x =x m / m =2/10 =0.2 故被加工齿轮的分度圆齿厚为（3）求两轮的节圆半径r 1'，r 2'及其啮合角α'由两轮的传动比 i 12和实际中心距a'可知1.1573.13cos 17cos 1733min =︒⨯=⨯=βz 176.017141729.2175617min 4min 3=-=-=-=x x ()()mmm x s 164.171020tan 2.022tan 22=⨯︒⨯⨯+=+=παπ4601541221121122=''===⨯==r r i z i z ωω将上两式联立求解得r 1'=75.4 mmr 2'=301.6 mm 两轮的标准中心距为a =m (z 1+z 2) /2= 10 ×(15 + 60) /2 =375 mm由式a' cos α'=a cos α 可求得例3 已知一对渐开线外啮合齿轮的齿数z 1 = z 2 = 15，实际中心距a' =325 mm ，m= 20 mm ，α=20°，h a *=1。

试设计这对齿轮传动。

解 （1）计算两轮变位系数标准中心距啮合角因两轮齿数相等， 故取x 1 =x 2 > x min ， 在加工齿轮时不发生根切。

由于x 1 +x 2 >0，故该齿轮属于正传动。

（2）计算两轮几何尺寸中心距变动系数齿高变动系数︒='=︒⨯='='819.2093471..0377/20cos 375/cos cos αααa a ()()mm z z ma 3001515220221=+=+=()()()5629.120tan 20149044.00528266.0tan 284.2932520cos 300arccos arccos2121=︒-=+-'=+︒=︒='='αααααz z inv inv x x a aco 118.0171517782.025629.1min21=-====x x x 25.120300325=-=-'=m a a y 313.025.1563.121=-=-+=∆y x x y mma r r r r 37742112='='+''='∴分度圆半径齿顶圆半径齿根圆半径基圆半径（3）检验重合度εα及齿顶厚s a齿顶圆压力角重合度分度圆齿厚齿顶圆齿厚mmmz r r r 15021520221=⨯====mmymxm m h r r r r a a a a 38.17920313.020782.020150*21=⨯-⨯++=∆-++===()mmxmm c h r r r r a f f f 64.14020782.02025.1150**21=⨯+⨯-=++-===mmr r r r b b b 954.14020cos 150cos 21=︒====α︒=︒===21.3838.17920cos 150arccos cos arccos arccosa ab a r r r r αα()()[]()[]()[]02.184.29tan 21.38tan 151tan tan 1tan tan tan tan 2112211=︒-︒='-='-+'-=πααπααααπεαa a a z z z mm xm ms s s 801.4220tan 20782.02220tan 2221=︒⨯⨯+=+===παπ()()mminv inv r r r ss s s a a aa a a 367.130149044.01203147.038.179215038.179801.42221=-⨯⨯-⨯=--===αα齿顶厚s a >0.4 m =8 mm ， 齿顶厚合格 重合度虽然大于1，但小于许用重合度。

改变齿数，取z 1 = z 2 =16 ，其它参数不变，重新设计。

（略）例4已知一对标准齿轮传动的参数为：m = 4 mm ，α=20°，z 1 = 36，z 2= 60若安装时中心距比标准中心距大了1毫米，试计算：1）两轮的节圆半径；2）啮合角。

解：（1）标准中心距为实际中心距为两方程联立求解得：（2）啮合角()mm z z m a 192603624)(221=+=+=1212211931192z z r r a r r mm a ='''='+'=+='mmr a r mm a z z z r 62.120375.7219338.72193603636122111=-='-'='=⨯+='+='1842020cos 193192arccos cos arccos '''︒=⎪⎭⎫⎝⎛︒='='ααa a例 5 在图示机构中，已知各直齿圆柱齿轮的模数均为 2 mm ， z 1=15， z 2 =32， z 2' =20，z 3 =30，要求齿轮1，3 同轴线。

试问：（1）齿轮1，2 和齿轮2'，3应选什么传动类型最好？为什么？ （2）若齿轮1，2改为斜齿轮传动来凑中心距，当齿数不变，模数不变时，斜齿轮的螺旋角为多少？解 （1）齿轮1，2 和齿轮2'，3的传动中心距分别为根据其中心距，选2' ，3为标准齿轮传动，而齿轮1，2为正变位传动。

实际中心距取为a' =50 mm ，此方案为最佳。

因为，齿轮2' ，3的中心距较大，选其为标准传动，使设计、加工简单，互换性好，同时也避免了齿轮2'，3采用负变位不利的情况。

齿轮1，2采用正传动，一方面可避免齿轮发生根切，如齿轮1 z 1=15<17， 故必须采用正变位；另一方面齿轮的弯曲强度及接触强度都有所提高。

（2）齿轮1，2改为斜齿轮传动时，由题意要求：两轮齿数不变，模数不变，其中心距为()()mmz z m a mm z z m a 50302022)(247321522)(232322112=+=+==+=+=''()45651994.0cos 503215cos 22)(cos 221'''===+=+=ββββmm z z m a n例6 某牛头刨床中，有一渐开线外啮合标准齿轮传动，已知z1 =17，z2 =118，m=5 mm，h a*=1，a' =337.5 mm。

检修时发现小齿轮严重磨损，必须报废。

大齿轮磨损较轻，沿分度圆齿厚共磨去0.91 mm，可获得光滑的新齿面，拟将大齿轮修理后使用，仍使用原来的箱体，试设计这对齿轮。

解由由于修理后仍使用原来的箱体，即中心距不变(采用高度变位齿轮传动）故分度圆半径基圆半径齿根圆半径齿顶圆半径齿顶圆压力角重合度1、已知一对正确安装的渐开线直齿圆柱标准齿轮传动，中心距 O 1O 2=100 mm ，模数 m =4 mm ，压力角 α=20° ，小齿轮主动，传动比 i =ω1/ω2=1.5 ，试：(1)计算齿轮1和2的齿数，分度圆，基圆，齿顶圆和齿根圆半径，并在图中画出；(2)在图中标出开始啮合点 B 2 、终了啮合点 B 1 、节点 p 、啮合角和理论啮合线与实际啮合线。

(3)在图上标出齿顶压力角 αa1 、αa2 (以中心角表示)； (4)求重合度 (有关寸可直接由图上量取)。