先求通解 （满足（1）式且含有一个待定常数的解。）
假设 x (t)K est
(3 )
则有 dx(t)Ksest dt
(4)
将（3）和（4）代入（1）式，可得
K e st(s A ) 0
(5 )
s A 0
( 6 )
（6）式称为微分方程的特征方程，其根称为微分方程的 特征根或固有频率。因而可求得：
x(t) 2e5t
一阶非齐次方程的解
非齐次方程和初始条件
d x A xB f dt
x ( t 0 ) X 0
(2 1 )
( 2 2 )
其中 x(t) 为待求变量，f(t) 为输入函数，A、B
及X0 均为常数。
解的结构: （2－1）式的通解由两部分组成
x ( t ) x h ( t ) x p ( t ) ( 2 3 )
第六章 一阶电路
§6.1 分解方法在动态电路分析中的运用 §6.2 零状态响应 §6.3 阶跃响应和冲激响应 §6.4 零输入响应 §6.5 线性动态电路的叠加定理 §6.6 三要素法 §6.7 瞬态和稳态 §6.8 正弦激励的过渡过程和稳态
无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支路 电流和电压仍然满足KCL和KVL，与电阻电路的差 别仅仅是动态元件的电流与电压约束关系是导数与 积分关系(见第五章)。因此，根据KCL、KVL和元 件的VAR所建立的动态电路方程是以电流、电压为 变量的微分方程或微分—积分方程。如果电路中的 无源元件都是线性时不变的，那么，动态电路方程 是线性常系数微分方程。
而由元件的VCR可得：
uR 0(t)R 0i(t),
i(t)C dC u (t) dt
第二式带入第一式并整理可得：
R0Cdd C u(tt)uC(t)uO(C t)
类似地，根据图(c)， 由KCL和元件的VCR可得：
Cdd C u(tt)G0uC(t)iSC (t)
如果给定初始条件uC(t0)以及t≥t0时的uOC(t)或 iSC(t)，便可由上述两式解得t≥t0时的uC(t)。
而对含电感L的一阶电路，同样可以得到：
Ldd L i(tt)R0iL(t)uO(C t)
G0Ldd Li(tt)iL(t)iSC (t)
如果给定初始条件iL(t0)以及t≥t0时的iSC(t)或 uOC(t)，同样可解得t≥t0时的iL(t)。
因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最关 键的步骤是先求得uC(t)或iL(t)。
第六章 一阶电路
§6.1 分解方法在动态电路分析中的运用 §6.2 零状态响应 §6.3 阶跃响应和冲激响应 §6.4 零输入响应 §6.5 线性动态电路的叠加定理 §6.6 三要素法 §6.7 瞬态和稳态 §6.8 正弦激励的过渡过程和稳态
再看如图所示电路。
如果电容具有初始电压uC(t0)，则在t≥t0时，这 种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据叠 加原理，该电路中任一电压、电流(当然也包括电 容的电压)是两个电源单独作用时结果的叠加，其 分解电路如下图所示。
其次，将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简， 得简单一阶电路。
第三，求解简单一阶电路，得到 uc(t) 或 iL(t) 。
最后，回到原电路，将电容用一电压源（其值为
uc(t)）置换，或将电感用一电流源（其值为 iL (t)）
置换，再求出电路中其余变量。
根据图(b)，由KVL可得：
u R 0(t)u C (t)u O(C t)
图中，由独立源在t≥t0时产生的响应为uC’(t)， 此时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电 路的输入引起，一般称为零状态响应。
而仅仅是由电容的初始状态uC(t0)所引起的响 应uC’’(t)称为零输入响应。
两种响应之和当然就是总响应或称之为全响 应，它是由输入和非零初始状态共同作用的响应。
因此，所谓零状态响应是指电路原始状态为 零，仅仅由激励源在电路中产生的响应，因而称 为零状态响应。
本节先讨论由输入恒定电源产生的一阶电路 的零状态响应。
仍以上述RC串联电路为例，设t0=0，t≥0时输 入阶跃波，其值为US，它相当于在t=0时通过开关 使RC电路与直流电压源US接通，如图所示。
根据第一节RC电路的公式并结合上图电路可得 t≥0时的电路方程为：
其中 xh(t) 为（2－1）式所对应齐次方程的通解， xp(t) 为（2－1）式的一个特解。
先求 xh(t)
前已求得
xh(t)Kest
再求 xp(t) 特解 xp(t) 的 形式与输入函数 f(t) 的形式有关：
确定待定常数K
求得 xh(t) 和 xp(t) 后，将初始条件代入通解式，可确
定待定常数K，从而得到原问题的解。
s A ,x (t) K e A t (7 )
再确定待定常数K 将初始条件（2）式代入通解（3）式，可得：
x (t0)K e s t0 X 0即 KX0 est0
例：求解方程 dx5x 0 , x(0) 2
dt
解： 特征方程
sHale Waihona Puke 0特征根s5通解
x(t)Ke5t
代入初始条件，得 K2
原问题的解为
RC ddu C(tt)uC(t)US
初始条件：uC(0)=0。 解此方程即可得到uC(t)。
有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过， 这里再简单回顾一下。
一阶微分方程的求解
一阶齐次方程的求解 齐次方程和初始条件
d xA x0
(1 )
dt
x (t0 ) X 0
(2 )
这里，x(t) 为待求变量，A 及X0 均为常数。
例：求解方程
2dx12x 18, x(0) 8 dt
解：特征方程 2s12 0特征根 s6
xh(t)Ke6t
设 xp(t) Q 求得 Q18 12 1.5
通解 x(t)Ke6t 1.5
代入初始条件，得 K 8 1 .5 6 .5
原问题的解为 x(t)6.5e6t 1.5
根据以上分析，对于方程：
非齐次线性常微分方程
RC
duc dt
一阶电路的定义：
如果电路中只有一个动态元件，相应的电路称 为一阶电路，而所得到的方程则是一阶微分方程。 一般而言， 如果电路中含有n个独立的动态元件， 那么，描述该电路的就是n阶微分方程， 相应的电 路也称为n阶电路。
分解方法在这里的运用：
首先，将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件N2 两部分。