x( t ) x h ( t ) x p ( t )
xp(t) 为（2－1）式的一个特解。
( 2 3)
其中 xh(t) 为（2－1）式所对应齐次方程的通解，
先求 xh(t) 前已求得
xh (t ) K e
st
再求 xp(t) 特解 xp(t) 的 形式与输入函数 f(t) 的形式有关：
种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据叠
加原理，该电路中任一电压、电流(当然也包括电
容的电压)是两个电源单独作用时结果的叠加，其 分解电路如下图所示。
图中，由独立源在t≥t0时产生的响应为uC’(t)，此
时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电路的输入
引起，一般称为零状态响应。 所谓零状态响应是指电路原始状态为零，仅仅由激 励源在电路中产生的响应， 而仅仅是由电容的初始状态uC(t0)所引起的响应
根据第一节RC电路的公式并结合上图电路可得
t≥0时的电路方程为：
du C (t ) RC u C (t ) U S dt
初始条件：uC(0)=0。解此方程即可得到uC(t)。 有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过，
这里再简单回顾一下。
一阶微分方程的求解
一阶齐次方程的求解
齐次方程和初始条件
无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支
路电流和电压仍然满足KCL和KVL，与电阻电路的差
别仅仅是动态元件的电流与电压约束关系是微分与
积分关系(见第五章)。
因此，根据KCL、KVL和元件的VCR所建立的动 态电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微 分—积分方程。
如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那
dx Ax 0 dt (1)
x(t0 ) X 0
(2)
这里，x(t) 为待求变量，A 及X0 均为常数。
先求通解（满足（1）式且含有一个待定常数的解。）
x(t ) K e s t d x(t ) 则有 K s est dt
假设 将（3）和（4）代入（1）式，可得
(3)
( 4)
K e s t (s A) 0
dx 5x 0 dt , x (0) 2
s5 0 s 5
x(t ) K e5 t
K 2
原问题的解为
x (t ) 2 e
5 t
一阶非齐次方程的求解
非齐次方程和初始条件
dx A x Bf dt
( 2 1)
x(t 0 ) X0
(2 2)
其中 x(t) 为待求变量，f(t) 为输入函数，A、B 及X0 均为常数。 解的结构: （2－1）式的通解由两部分组成
而对含电感L的一阶电路，同样可以得到：
di L (t ) L R 0 i L (t ) u OC (t ) dt
di L (t ) G 0L i L (t ) i SC (t ) dt
如果给定初始条件iL(t0)以及t≥t0时的iSC(t) 或uOC(t)，同样可解得t≥t0时的iL(t)。 因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最
uC’’(t)称为零输入响应。
两种响应之和就是总响应或称之为全响应，
它是由输入和非零初始状态共同作用的响应。
本节先讨论由恒定电源输入产生的一阶电路的
零状态响应。
仍以上述RC串联电路为例，设t0=0，t≥0时输
入阶跃波，其值为US，它相当于在t=0时通过开关
使RC电路与直流电压源US接通，如图所示。
关键的步骤是先求得uC(t)或iL(t)。
第六章 一阶电路
§6.1 分解方法在动态电路分析中的运用
§6.2
§6.3
零状态响应
阶跃响应和冲激响应
§6.4
§6.5 §6.6 §6.7 §6.8
零输入响应
线性动态电路的叠加定理 三要素法 瞬态和稳态 正弦激励的过渡过程和稳态
再看如图所示电路。
如果电容具有初始电压uC(t0)，则在t≥t0时，这
第二篇 动态电路的时域分析
第五章 电容元件与电感元件 第六章 一阶电路
第七章 二阶电路
第六章 一阶电路
§6.1 分解方法在动态电路分析中的运用√
§6.2
§6.3
零状态响应√
阶跃响应和冲激响应
§6.4
§6.5 §6.6 §6.7 §6.8
零输入响应
线性动态电路的叠加定理 三要素法 瞬态和稳态 正弦激励的过渡过程和稳态
确定待定常数K
求得 xh(t) 和 xp(t) 后，将初始条件代入通解式， 可确定待定常数K，从而得到原问题的解。 例：求解方程 解：特征方程
么，动态电路方程是线性常系数微分方程。
一阶电路的定义：
如果电路中只有一个动态元件，相应的电路
称为一阶电路，而所得到的方程则是一阶微分方程。
一般而言，如果电路中含有n个独立的动态元件，
那么，描述该电路的就是n阶微分方程， 相应的电
路也称为n阶电路。
分解方法在这里的运用：
（1）将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件N2两 部分。 （2）将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得 简单一阶电路。 （3）求解简单一阶电路，得到 uc(t) 或 iL(t) 。
（4）回到原电路，将电容用一电压源（其值为 uc(t)）
置换，或将电感用一电流源（其值为 iL (t)）置换，再
求出电路中其余变量。
根据图(b)，由KVL可得：
uR0 (t) uC (t) uOC (t)
而由元件的VCR可得：
u R 0 (t ) R 0i(t ),
duC (t ) i( t ) C dt
s A0
特征根或固有频率。因而可求得：
(5)
(6)
（6）式称为微分方程的特征方程，其根称为微分方程的
s A , x(t ) K e At
(7)
再确定待定常数K
将初始条件（2）式代入通解（3）式，可得：
x(t0 ) K est0 X 0 即 K X 0 es t0
例：求解方程 解： 特征方程式并整理可得：
du C (t ) R 0C u C (t ) u OC (t ) dt
类似地，根据图(c)， 由KCL和元件的VCR可得：
du C (t ) C G 0u C (t ) i SC (t ) dt
如果给定初始条件uC(t0)以及t≥t0时的uOC(t)
或iSC(t)，便可由上述两式解得t≥t0时的uC(t)。