第三章
线性方程组
直接解法
3-1
W
Y
第三章目录
§1. Gauus 消元法 §2. 主元素法
2.1 引入主元素法的必要性 2.2 列主元素法 2.3 全主元素法 2.4 解三对角方程组的追赶法 §3. 矩阵分解法 3.1 Gauss消去法的矩阵形式 3.2 矩阵的三角分解 3.3 直接三角分解法 §4. 平方根法与改进的平方根法 §5. 矩阵求逆
程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原
方程组的解，此过程称为回代过程。
我们的目的，是要总结归纳出一般情况下的n阶线性方程 组的消元公式和回代求解公式，从而得到求解n阶线性方
程组的能顺利在计算机上实现的行之有效的算法。
3-7
W
a1(11) x1 a1G(12)axu2ss消a1元(13) 法x3 的 基a1(14本) x步4 骤b11(（1)4阶）
a
(1) 43
x3
a4(14) x4
b4(1)
统一加上标 ,并简记为 A(1) x b(1) , A(1) A,b(1) b,首先消元 :
第一步
: 找乘数, 假定a1(11)
0, 要消第二个方程中
x1 , 可以
a2(11) a1(11)
为乘数,
而以
a2(11) a1(11)
乘第一个方程加到第二
3-8
W
Y
Gauss消元法的基本步骤2（4阶）
可以检查，分别以li1乘第一个方程加到第i个方程上 可以完成第一次消元，得同解方程组：
a1(11) x1 a1(12) x2 a1(13) x3 a1(14) x4 b1(1)
a2(22) x2 a2(23) x3 a2(24) x4 b2(2) (3- 4)(a) a3(22) x2 a3(23) x3 a3(24) x4 b3(2)
a4(22) x2 a4(23) x3 a4(24) x4 b4(2)
变化以后的方 程组系数及右 边的常数项可 总结出如下的 计算公式：
完成第一次消元之后的 方程组记为：
A(2) x = b (2)
ai(j2)
a (1) ij
li1a1(1j)
bi(2) bi(1) li1b1(1)
i, j 2,3,4
Y
求为aa解32((能1111步))更xx骤11清，楚并aa地32((且1122得))很xx到22容算易法aa地，32((11可33))下xx推33面广以至aa4一阶32((1144))般线xx的性44 n方阶程bb线32((组11性))为方(例3程总-组4结。)
a
(1) 41
x1
a4(12) x2
其矩阵形式为： an1x1 an2 x2 ann xn bn
Ax=b
(3-2) 其中： a11 a12 a1n
x1
b1
A
a21 a22 an1an2
a2n ann
，x
x2 ：
xn
，b
b2 ∶
3-3 bn
W
Y
线性方程组的概念（续）
如果线性方程组Ax = b的系数行列式不为零， 即det(A) 0，则该方程组有唯一解。
3-9
W
Y
Gauss消元法的基本步骤3（4阶）
第二步: 消x2 ,首先找到乘数
li 2
a(2) i2
a(2) 22
,i

3,4
个方程中,并以
a3(11) a1(11)
,
a4(11) a1(11)
分别
乘第一个方程加到第三 ,第四个方程上消 x1,这些乘数实际上可记为
l21
a2(11) a1(11)
, l31
a3(11) a1(11)
, l41
a4(11) a1(11)
或记为li1
ai(11) a1(11)
（i 2,3,4）
3-4
W
Y
线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类： 1. 直接法：指假设计算过程中不产生含入误差，经过有
限步四则运算可求得方程组准确解的方法。
2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某 种算法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。
这一章介绍计算机上常用的直接法，它们都是以Gauss 消元法为基本方法，即先将线性方程组化为等价的三角形 方程组，然后求解。 请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小
§6.方程组的性态和条件数 3-2
W
Y
方程在组科的学求研解究问和题工是程基技线本术性的中，方所常提程见出组的的的，计很概算多问念问题题中如，插线值性函
数，最小二乘数据拟合，构造求解微分方程的差分格式等， 都包含了解线性方程组问题，因此，线性方程组的解法在 数值计算中占有较重要的地位。
设n阶线性方程组：a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a2 1x1a22 x2 a2n xn b2 (3-1)
数，即不可避免地存在着舍入误差的影响，因 而即使是确解法，也只能求到近似解。 直接法在求解中小型线性方程组（≤100个），特别是 系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法。
3-5
W
Y
§1 Gauss消元法
Gauss消元法是最基本的一种方法，下例说明其基本思想:
例1 解线性方程组： x1 x2 x3 6
3-6
W
Y
例1（续）
再消一次元得：
二次消元后将方程化为
倒三角形式，然后进行
x115x2x29 xx33
6 57
22 5
x3
66 5
(3- 3)(b)
回代容易解出： x3 = 3, x2 = 2, x1 = 1。
上述Gauss消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将
方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过
12x1 3x2 3x3 15 18x1 3x2 x3 15
(3- 3)
解：消去x1，进行第一次消元：首先找乘数，以 -12乘第一个方程加到第二个方程，以18乘第一个 方程加到第三个方程上可得同解方程组：
x115xx22
x3 6 9x3 57
(3- 3)(a)
21x2 17x3 93
求解Ax = b，曾经学过高斯（Gauss）消元法， 克莱姆（Cramer）法则，矩阵变换法等，但已远 远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面： 一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增 大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实 现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义， 我们也曾指出过，Cramer法则在理论上是绝对正 确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。