解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为 是 的垂心，所以 ,
所以， .所以， .
6.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点。若点 到直线 的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为
【解析】设 ，因为直线 平行于渐近线 ，所以点 到直线 的距离恒大于直线 与渐近线 之间距离，因此c的最大值为直线 与渐近线 之间距离，为
[解析](1)由题意知F( ，0)，设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为( ，0)．
因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋ ＝|t－ |，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)，由 ＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)(ⅰ)由(1)知F(1,0)．设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)，因为|FA|＝|FD|，得|xD－1|＝x＋1，由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．故直线AB的斜率kAB＝－ .因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－ x＋b，代入抛物线方程得y2＋ y－ ＝0，由题意Δ＝ ＋ ＝0，得b＝－ ，设E(xE，yE)，则yE＝－ ，xE＝ .当y ≠4时，kAE＝ ＝－ ＝ ，可得直线AE的方程为y－y0＝ (x－x0)，由y ＝4x0，整理可得y＝ (x－1)，故直线AE恒过点F(1,0)．当y ＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1,0)．所以直线AE过定点F(1,0)．
A． B． C． D． 【答案】D
【解析】设双曲线方程为 ，如图所示， ， ，过点 作 轴，垂足为 ，在 中， ， ，故点 的坐标为 ，代入双曲线方程得 ，即 ，所以 ，故选D．
5、平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线 交于点 ，若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为 【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为 ,
[解析](1)由题意知e＝ ＝ ，∴e2＝ ＝ ＝ ，即a2＝ b2，又b＝ ＝ ，∴a2＝4，b2＝3，故椭圆的方程为 ＋ ＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
△＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0,3＋4k2－m2>0.x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ .
【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.
【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线 上，由此可确定中点的纵坐标 的范围，利用这个范围即可得到r的取值范围.
2、已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；
(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且 · ＝－16，证：直线AB恒过定点．
[解析](1)⊙O的圆心M(0,2)，半径r＝1，设动圆圆心P(x，y)，由条件知|PM|－1等于P到l的距离，∴|PM|等于P到直线y＝－2的距离，∴P点轨迹是以M(0,2)为焦点，y＝－2为准线的抛物线．方程为x2＝8y.(2)设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)
(I)由题意知 ，由 ，解得 ，继而得椭圆的方程为 ；
(II)设 ， 由题设知，直线 的方 ，代入 ，化简得 ，则 ，由已知 ，从而直线 与 的斜率之和
化简得 .
试题解析：(I)由题意知 得 ，椭圆的方程为 .
(II)由题设知，直线 的方程为 ，代入 ，得
，由已知Βιβλιοθήκη ，设 ， ，从而直线 与 的斜率之和 .
∴△MON面积的最大值为 ，此时直线l的方程为：y＝± x＋2.
6、已知椭圆 ＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋ 对称．
(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
[分析] 考查直线与椭圆的位置关系；点到直线的距离公式；求函数的最值及运算求解能力、函数与方程的思想．(1)可设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消元化为一元二次方程，由AB的中点在已知直线上知方程有两个不同的解，由此可得到关于m的不等式，从而求解；(2)令t＝ ，可将△AOB表示为t的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而获解．
[解析](1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－ x＋b，由 消去y，得( ＋ )x2－ x＋b2－1＝0，∵直线y＝－ x＋b与椭圆 ＋y2＝1有两个不同的交点，∴Δ＝－2b2＋2＋ ＞0，①，将AB中点M( ， )代入直线方程y＝mx＋ 解得b＝－ ，②.由①②得m＜－ 或m＞ .
[解析] (1)∵e＝ ，∴a2＝3c2＝3a2－3b2，∴2a2＝3b2将x＝－c代入椭圆方程得：y2＝ ，y＝± ，由题意： ＝ ，∴2a＝ b2，解得：a2＝3b2＝2∴椭圆C的方程为： ＋ ＝1(2)联立方程组： 消去y整理得：(3k2＋2)x2＋6ktx＋3t2－6＝0①∴Δ＝36k2t2－4(3k2＋2)·(3t2－6)＝24(3k2＋2－t2)>0，∴3k2＋2>t2②设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1＋x2＝ ，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝ ＋2t＝ 设MN的中点为G(x0，y0)，则x0＝ ＝ ，y0＝ ＝ ∴线段MN的垂直平分线方程为：y－ ＝－ 将P 代入得： ＋ ＝ 化简得：3k2＋2＝4t代入②式得：4t>t2，∴0<t<4|MN|＝ · ＝ · ＝ · ＝ · 设O到直线MN的距离为d，则d＝ ∴S△NOM＝ ·|MN|·d＝ · · · ＝ · ＝ · ≤ (当且仅当t＝2，k＝± 时取“＝”号)
解答题
1、已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，kOA·kOB＝－ ，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．
[解析](1)由题意得c＝1，又e＝ ＝ ，所以a＝2，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)>0得m2<3＋4k2.∵x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ ，∴y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝ .由kOA·kOB＝－ ＝－ 得y1y2＝－ x1x2，即 ＝－ · ，化简得2m2－4k2＝3，满足Δ>0.由弦长公式得|AB|＝ |x1－x2|＝ · ＝ .又点O到直线l：y＝kx＋m的距离d＝ ，所以S△AOB＝ ·d·|AB|＝ · ＝ ＝ ＝ ＝ ，故面积为定值 .
[方法点拨] 定值问题的求解策略
(1)在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数，或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．
(2)求解定值问题的三个步骤①由特例得出一个值，此值一般就是定值；
3设双曲线 （a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、
D 【答案】A
4.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
②证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；③得出结论．
5、设椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为 ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y＝kx＋t(t≠0)与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P ，求△MON(O为坐标原点)面积的最大值．
[方法点拨] 定点问题的求解策略
把直线或曲线方程中的变量x、y当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x、y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
4、已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋ ＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA·kOB＝－ ，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋( ＋1)＝x0＋ ＋2.设直线AE的方程为x＝my＋1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝ .设B(x1，y1)．直线AB的方程为y－y0＝－ (x－x0)，由于y0≠0，可得x＝－ y＋2＋x0，代入抛物线方程得y2＋ y－8－4x0＝0.所以y0＋y1＝－ ，可求得y1＝－y0－ ，x1＝ ＋x0＋4.所以点B到直线AE的距离为d＝ = ＝4( ＋ )．则△ABE的面积S＝ ×4( ＋ )(x0＋ ＋2)≥16，当且仅当 ＝x0，即x0＝1时等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.
y1·y1＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝ .kOA·kOB＝－ ， ＝－ ，y1y2＝－ x1x2， ＝－ · 2m2－4k2＝3，|AB|＝ ＝ ＝ .d＝ ＝ ≥ ＝ ，