七年级数学暑假专题 分式方程及其应用 人教四年制版【本讲教育信息】一. 教学内容：分式方程及其应用二. 重点、难点解方程的一种重要方法是转化即把不熟悉的方程形式转化为熟悉的方程形式。

而分式方程的应用首先要求同学们对题目的逻辑关系有深刻的认识，把题目中的关系转化为数量关系。

【典型例题】[例1] 解方程22)221(44168222-=-+++-+-x x x x x x x 解：在方程的等式两边同乘以2)2(-x 得)2(216822-=++-x x x x x整理得164=x解之得4=x经检验4=x 是原方程的根[例2] 解方程：14263)12(212--=+-x x x 分析：此题可用一般的去分母的方法进行求解，但也可将14262--x x 化为部分分式求解。

解：∵ )12(21)12(2514262-++=--x x x x ∴ 原方程可化为)12(21)12(253)12(21-++=+-x x x ∴ 3)12(25=+x ∴ 121-=x 经检验121-=x 是原方程的解[例3] 解关于x 的方程1)1(+=-x ax a解：原方程可转化为1)1(2+=-a x a即1)1)(1(+=-+a x a a当0)1)(1(≠-+a a 即1±≠a 时原方程的解为11-=a x 当1=a 时方程为20=x原方程无解当1-=a 时，方程为00=x原方程的解为任意实数综上：当1±≠a 时，原方程的解为11-=a x 当1=a 时，原方程无解当1-=a 时，原方程的解为任意数[例4] 甲、乙两车从A 、B 两地相向开出，甲车比乙车早开出15分钟，甲、乙两车的速度之比为3:2，相遇时，甲车比乙车少行6千米，已知乙车走这条路需要1.5小时。

求：甲、乙两车的速度和A 、B 两地的距离。

解：设甲车速度为x 2，则乙车速度为x 3全程为x x 5.45.13=⋅ 根据题意413325.42325.4++=-x x x x 20=x 经检验20=x 是原方程的根∴ 甲车速度为402=x 千米/小时乙车速度为603=x 千米/小时全程为90205.4=⨯千米答：甲车速度为40千米/小时，乙车速度为60千米/小时，A 、B 两地距离为90千米。

[例5] 一辆自行车走12米路，前轮比后轮多转6圈，如果前轮周长增加41，后轮周长增加51，那么走12米路前轮比后轮多转4圈，求前后轮的周长分别是多少？解：设前轮周长为x 米，后轮周长为y 米。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12)45612(4512)612(y x y x 解得⎩⎨⎧==5.04.0y x 经检验4.0=x ，5.0=y 是原方程的根答：前轮周长为0.4米，后轮周长0.5米。

[例6] 某人距射击目标1670米，瞄准开枪后过了7秒听到击中目标的声音，另有一观察者距射击者1000米，距目标2002米，在听到枪声后5秒听见击中目标的声音，求声音、子弹的速度。

解：设子弹的速度为x 米/秒，声音的速度为y 米/秒。

根据题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+5167010002002716701670x y y y x 解得⎩⎨⎧==334835y x 经检验⎩⎨⎧==334835y x 是原方程的根 答：子弹的速度为835米/秒，声音的速度为334米/秒。

[例7] 一艘小船由A 港到B 港顺流需6个小时，由B 港到A 港逆流需8个小时，一天小船从早晨6点由A 港出发顺流航行到B 港时，发现一个救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈。

求：（1）若小船按水流速度由A 港漂到B 港需多少小时？（2）救生圈是在何时掉入水中的？解：设水流速度为水V ，船在静水中的速度为船V61=+=水船顺V V V 81=-=水船逆V V V 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==487481船水V V （1）设A 港到B 港的路程为14848111==水V 小时 （2）设救生圈是在到达B 港前x 小时掉入水中1)481487(481)487481(⋅-++=+x x 1=x 上午6点出发应在中午12点到达救生圈在11点掉入水中[例8] 甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB 两端同时相反起跑，第一次相遇时，离A 点100米，第二次相遇时，离B 点60米，求圆形跑道的总长是多少？解：设圆形跑道总长x 米。

当甲与乙第二次相遇时，甲跑过的路程超过半圆时606021002100-+=-x x x 480=x 经检验480=x 是原方程的根当甲与乙第二次相遇时，甲跑过的路程不超过半圆606021002100+-=-x x x 720=x 经检验720=x 是原方程的根答：圆形跑道的长为480米或720米。

【模拟试题】 1. 12663324222--=++--x x x x x x x 2.86107125265222+--=---+-+x x x x x x x x x 3. cx b x a x -=-+-321（032≠-+c b a ，a ，b ，c 各不相等） 4. x a bx b b ax a 2=+++（022≠+b a ，0≠ab ） 5. )0(422222≠-=-++m xm m x m x x m x 6. )0(2)(≠+-+=+n m x mn n m x m n n m 7. 71513111+-+=+-+x x x x 8. 78563412++-++=++-++x x x x x x x x 9. 32148521761543103--+--=--+--x x x x x x x x 10. 从火车上下来两个旅客，他们沿着同一个方向到同一地方去，第一个旅客一半路程以速度a 行走，另一半路程以速度b 行走；第二个旅客一半时间以速度a 行走。

另一半时间以速度b 行走。

问：哪个旅客先到达目的地？11. 两辆汽车同时从甲、乙两地相向而行。

在离甲地64千米处两车相遇，相遇后两车继续按原速前进，分别到达两地后立刻返回，又在离甲地32千米处第二次相遇。

求：甲、乙两地的距离是多少？12. 某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付给甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需付给乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的2/3，厂家需付给甲、丙两队5500元。

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工作各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

13. 完成一项工作，甲独做所需时间为乙与丙共同工作所需时间的3倍；乙独做所需时间为甲与丙共同工作所需时间的2倍；甲独做此工作所需时间比乙独做所需时间多5天。

求：甲、乙、丙各自独做完成这项工作所需的时间。

14. 完成一项工作，甲独做所需时间为乙与丙两人合作所需时间的a 倍；乙独做所需时间为甲与丙两人合作所需时间的b 倍；丙独做所需时间为甲与乙两人合作所需时间的c 倍。

求：（1）111111+++++c b a 的值。

（2）c 由a 、b 表示的表达式。

【试题答案】 1. )1)(2(6)1(32)2(22+-=++--x x x x x x x2)2)(2(2)1(3x x x x x =-+-+222)4(233x x x x =--+2228233x x x x =+-+83-=x38-=x 2. )4)(2(107)3)(4(52)2)(3(5---=+--+-+x x x x x x x x x)3)(107()2)(52()4(5+-=--+-x x x x x x301021710542205222--+=+--+-x x x x x x x x 4040=x 1=x3. ))((3))((2))((b x a x c x a x c x b x --=--+-- ab x b a x ac x c a x bc x c b x 3)(332)(22)(222++-=++-+++-bc ac ab x c b a --=-+23)32( c b a bcac ab x 3223-+--=4. ))((2)()(a bx b ax b ax bx a bx ax ++=+++)(22222222ab x b x a abx x b abx x a abx +++=+++ ab x b a x b a 2)(2)(2222++=+ab x b a 2)(22=+-222b a abx +-=5. 2)2()2(m x m x x m x =++-22222m x mx x mx =++-24m mx =4mx = 6. mn n m x mn n mn m 22222+=++ 222)(n m n m x ++= 7. )7)(5(57)3)(1(13++--+=++--+x x x x x x x x)7)(5(2)3)(1(2++=++x x x x35123422++=++x x x x328-=x 4-=x 8. )711(511)311(111++-++=++-++x x x x71513111+-+=+-+x x x x4-=x 9. 32245223114313--+--=--+--x x x x3225221131-+-=-+-x x x x1132252231---=---x x x x)1)(32(3222)52)(3(6252--+--=--+--x x x x x x x x3521511222+-=+-x x x x 126=x 2=x10. 第一个旅客，用时ab Sb a b S a S )(+=+设第二个旅客用时tS bt at 2=+ b a St +=2∴ 乙用时b a S+40)()(4)(2>+-=+-+b a ab b a S b a S ab b a S∴ 乙先到达目的地11. 设甲、乙两地相距x 千米。