2．临界问题的判别 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过 程中存在着临界点。
可得：v0＝203 6 m/s，故 B 错误；石块即将落地时重力的瞬时功率为：P
＝mgvy＝mg·gt＝500 6 W，故 C 正确；石块落地的瞬时速度大小为：v＝
v20＋gt2＝253 6 m/s，故 D 错误。
解析
能力命题点一 有约束条件的平 抛运动
1．概述 做平抛运动的物体常见的是落在水平面上的某一点(如投弹)，当落在竖 直面上(射箭)、斜面上(滑雪、投弹)或一定形状的曲面上时，平抛运动会受 到这些几何形状的约束，如下图所示。
A．4.5 m/s C．95 5 m/s
B．190 5 m/s D．2170 5 m/s
答案
解析 A 球做平抛运动，则竖直方向：h＝9L＝12gt2，vy＝gt，水平方向： 9L＝v0t，A 到达 P 点的速度为：v＝ v02＋v2y，将 L＝9 cm＝0.09 m 代入， 解得：v＝4.5 m/s，故 A 正确。
1．如图所示，以 9.8 m/s 的速度水平抛出的物体
飞行一段时间后，垂直撞在倾角 θ＝30°的斜面上，
可知物体完成这段飞行的时间为(g＝9.8 m/s2)( )
A．3 s
B．233 s
C．
3 3
s
D．2 s
答案
解析 物体做平抛运动，垂直地撞在倾角为 30°的斜面上时，其速度与 斜面垂直，把物体的速度分解，如图所示。由图可知，此时物体在竖直方 向上的分速度大小为 vy＝tavn0θ，由 vy＝gt 可得运动的时间 t＝vgy＝gtva0nθ＝ 3 s，故 A 正确。
解析
3．(2019·河南六市高三联合一模)如图甲所示的“襄阳砲”是古代军队 攻打城池的装置，其实质就是一种大型抛石机，图乙是其工作原理的简化 图。将质量 m＝10 kg 的石块，装在与转轴 O 相距 L＝5 m 的长臂末端口袋 中，最初静止时长臂与水平面的夹角 α＝30°，发射时对短臂施力使长臂转 到竖直位置时立即停止运动，石块靠惯性被水平抛出，落在水平地面上。 若石块落地位置与抛出位置间的水平距离 s＝20 m，不计空气阻力，取 g＝ 10 m/s2。以下判断正确的是( )
(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时 间 t 到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为 θ，不计空 气阻力，重力加速度为 g。下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为tagntθ B．小球在 t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度增大，则 θ 减小
解析
2．(2019·山东滨州二模)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程 为 y＝x2，在 y 轴上有一点 P，坐标为(0,6 m)。从 P 点将一小球水平抛出， 初速度为 1 m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，重力加 速度 g 取 10 m/s2)( )
A．(3 m,3 m) C．(1 m,1 m)
解析
分解思想在平抛运动中的应用 (1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个 方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。 (2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分 速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未 知量。
答案
解析 画出平抛运动分解图，如图所示，由 tanθ＝vgt0可得，小球平抛 的初速度大小为 v0＝tagntθ，A 正确；由 tanα＝hx＝12vg0tt2＝2gvt0＝12tanθ 可知， α≠θ2，B 错误；小球做平抛运动的时间 t＝ 2gh，与小球初速度无关，C 错误；由 tanθ＝vgt0可知，v0 越大，θ 越小，D 正确。
1．(教科版必修 2 P18·T2)一投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空 水平地匀速飞行，从飞机上每隔 1 s 投下 1 包救援物资，先后共投下 4 包， 若不计空气阻力，则 4 包物资落地前( )
A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的 C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是 等间距的 D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不 是等间距的
A．石块抛出后运动时间为
3 2s
B．石块被抛出瞬间的速度大小为230 2 m/s
C．石块即将落地时重力的瞬时功率为 500 6 W
D．石块落地的瞬时速度大小为 15 m/s
答案
解析 石块被抛出后做平抛运动，h＝L＋Lsinα，竖直方向：h＝12gt2，
可得：t＝
6 2
s，故 A 错误；石块被抛出后做平抛运动，水平方向：s＝v0t，
答案
解析 4 包物资落地前水平速度与飞机相同，竖直方向做自由落体运 动，所以总在飞机的正下方排成竖直的直线，水平速度相同，下落高度相 同，落点是等间距的，C 正确，A、B、D 错误。
解析
2．(2019·湖北高考模拟)如图所示，上、下两个完全相同的圆弧轨道分 别固定在竖直板上的不同高度处，轨道的末端水平。在两轨道相对于各自 轨道末端高度相同的位置上各安装一个电磁铁，两个电磁铁由同一个开关 控制，通电后，两电磁铁分别吸住相同小铁球 A、B，断开开关，两个小球 同时开始运动。离开圆弧轨道后，A 球做平抛运动，B 球进入一个光滑的水 平轨道。若某次两个小球相碰的位置恰在水平轨道上的 P 点处。已知固定 在竖直板上的方格纸的正方形小格边长均为 9 cm，则可计算出 A 球刚到达 P 点的速度大小为(g 取 10 m/s2)( )
速度 v0 抛出一个小球，落在斜面上某处 Q 点，小球落
在斜面上的速度与斜面的夹角为 α，若把初速度变为
3v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )
A．夹角 α 将变大
B．夹角 α 与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．P、Q 间距是原来间距的 3 倍
答案
解析 由图可知，tan(α＋θ)＝vvxy＝vgt0，而 tanθ＝xy＝ 12vg0tt2＝2gvt0，可得 tan(α＋θ)＝2tanθ，则知 α 大小与初速 度大小无关，α 不变，A 错误，B 正确；斜面倾角的正切值 tanθ＝2gvt0，得 t＝2v0gtanθ，若初速度变为原来的 3 倍，其运动时间变为原来的 3 倍，C 错 误；P、Q 间距 s＝coxsθ＝cvo0stθ，若初速度变为原来的 3 倍，则时间 t 变为原 来的 3 倍，则 P、Q 间距变为原来的 9 倍，D 错误。
(2)性质：平抛运动是加速度为 g 的 03 __匀__变__速___曲线运动，其运动轨 迹是 04 __抛__物__线___。
(3)平抛运动的条件：v0≠0，沿 05 _水__平___方向；只受 06 _重__力___作用。 (4)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的 07 __匀__速__直__线____运动和 竖直方向的 08 __自__由__落__体____运动。
解析
有约束条件的平抛运动问题求解的关键 (1)运动的分解 ①以分解速度为突破口 对于一个做平抛运动的物体来说，若已知某时刻的速度方向，可以从
vy gt 分解速度的角度来研究：tanα＝vx＝v0(α 为 t 时刻速度与水平方向间的夹 角)，从而得出初速度 v0、时间 t、夹角 α 之间的关系，进而求解具体问题。
B．(2 m,4 m) D．(1 m,2 m)
答案
解析 设小球经过时间 t 打在曲面上 M(x，y)点，则水平方向：x＝v0t， 1
竖直方向上：6 m－y＝2gt2，又因为 y＝x2，联立解得：x＝1 m，y＝1 m， 故 C 正确。
解析
能力命题点二 平抛运动中的临 界问题
1．平抛运动受到某种条件的约束时(如乒乓球台的大小和球网对乒乓球 运动的约束)，经常会出现临界问题，其约束条件一般有水平位移和竖直高 度两种，如乒乓球、排球的过网、越界问题。求解这类问题的关键是确定 临界轨迹。
和下落高度 h 有关。
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以 做平抛运动的物体在任意相等时间间隔 Δt 内的速度改变量 Δv＝gΔt 相同， 方向恒为竖直向下，如图甲所示。
5．两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速 度的反向延长线一定通过此时水平位移的 21 _中__点___，如 图乙所示。
v0 无关。
2h
(2)水平射程：x＝v0t＝ 18 _v__0 ___g___，即水平射程由初速度 v0 和下落
高度 h 共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度 v＝ vx2＋v2y＝ 19 ___v_20_＋__2_g_h__，以 α 表示落地速度与 x 轴
vy
2gh
正方向的夹角，有 tanα＝vx＝ 20 v0 ，所以落地速度也只与初速度 v0
解决这类问题不仅要掌握平抛运动的一般处理方法，还要能结合实际 的约束条件分析其中的物理情景。
2．典型模型：斜面上的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运
用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同
位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。常见的模
型如下：
斜面
解题方法
内容
水平方向：vx＝v0
分解速度，构 竖直方向：vy＝gt 建速度三角形 合速度：v＝ v2x＋v2y
tanθ＝vv0y
斜面
解题方法
内容
水平方向：x＝v0t 分解位移，构 竖直方向：y＝21gt2
建位移三角形 合位移：s＝ x2＋y2
tanθ＝xy
如图所示，从倾角为 θ 的足够长的斜面顶端 P 以
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方 向与水平方向的夹角为 α，位移与水平方向的夹角为 θ，则 tanα＝ 22 ___2_ta_n_θ_________。