例 3、甲、乙两个围棋队各 5 名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方 1 号队员先赛，负者被淘汰，然后负方
的 2 号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方
获胜。假设每个队员的实力相当，且每场比赛之间没有影响。则甲方有 4 名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率
(i) 证明：{pi1 pi}(i 0 ，1，2， ， 7) 为等比数列； (ii) 求 p4 ，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性．
2、（16 全国二卷理 18）某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本
年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出 0
1
2
3
4
5
险次数
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出 0
1
2
3
4
5
险次数
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；
2 割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26cm ，则其身高可能是 ( )
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
2019.9
二、（全国二卷、三卷）概率统计研究方向？
1、（19 全国一卷理 21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试 验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施 以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时， 就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈 且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药 得 1 分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮
知识、方法和意识
——拓展数学视野、掌握思考方法
一、从“断臂的维纳斯”说起，谈谈高考 （19 全国一卷 4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之 比是 5 1( 5 1 0.618 ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最
22 美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 ．若某人满足上述两个黄金分
是
。
2
例 4、（湖南卷 17）右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （I）求直方图中 x 的值； （II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望. 解：
（2）知识的综合考察，蕴含在概率统计之中 例 5、（18 全国一卷理 20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检 验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否
做每一个题，都要问一句，这是用到什么模型？为什么可以归结为这个模型？这个模型能转化成其它较简单
形式吗？为什么可以转化？
一般先从古典概型开始考虑，其次是二项分布和超几何分布。
例 2、把 5 个小球随机放入 5 个盒子，若某个事先指定的盒子中小球个数多于 3 就为中奖。求中奖的概率。（学
生关注“排列组合”甚于对“模型选择”的关注）
（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
3、（17全国三卷理18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售 出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单
位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20, 25) ，需求量为300瓶；
产品数量，求 y 的分布列。
0.05
（3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过 505
0.04 0.03
克的概率。 下面是网上下载试题时给的答案，对吗？这不是小问题，我们到底要 0.01
关注什么？
0
重量/克 490 495 500 505 510 515
（2）学会归类、关注模型中的基本问题
样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490.495）.（495.500.）……（510.515.）由此得到样本的
频率分布直方图。如图所示
（1）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量。
频率/组距
（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 y 为重量超过 505 克的 0.07
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）
为多少时， Y 的数学期望达到最大值？
一、概念清晰，扎实基础
（1）首先是意识的问题
要有归类的意识，要把模型放到第一位。
例 1、（高考广东卷 17）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上 40 件产品作为
试验中甲药的得分记为 X ． （1）求 X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi (i 0 ，1， ， 8) 表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲 药比乙药更有效”的概率，则 p0 0 ， p8 1 ， pi api1 bpi cpi1(i 1 ，2， ， 7) ，其中 a P(X 1) ， b P(X 0) ， c P(X 1) ．假设 0.5 ， 0.8 ．
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温
1
数据，得下面的频数分布表：
最高气温 10 ，15 15 ，20 20 ，25 25，30 30 ，35 35，40
天数
2
16
36
25

4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．