大题专项练(三)立体几何
A组基础通关
1.
如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,点P是AC的中点,连接BP,DP.
(1)证明:平面ACD⊥平面BDP;
(2)若BD=,且二面角A-BD-C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.
(1)证明因为△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,所以Rt△ABD≌Rt△CBD,可得AD=CD.
因为点P是AC的中点,则PD⊥AC,PB⊥AC,
因为PD∩PB=P,PD?平面PBD,PB?平面PBD,所以AC⊥平面PBD.因为AC?平面ACD, 所以平面ACD⊥平面BDP.
(2)解方法一:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD,
1
所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120°,知
∠AEC=120°.
在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=AE,
因为△ABC是等边三角形,则AC=AB,
所以AB=AE.
在Rt△ABD中,有AE·BD=AB·AD,得BD=AD,因为BD=,所以AD=.
又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.
则AE=,ED=.由CE⊥BD,AE⊥BD可知BD⊥平面AEC,则平面AEC⊥平面BCD.
过点A作AO⊥CE,交CE的延长线于O,则AO⊥平面BCD.连接OD,则∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.在Rt△AEO中,∠AEO=60°,所以AO=AE=1,sin∠ADO=.
所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.
方法二:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD,
所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.
由已知二面角A-BD-C为120°,知∠AEC=120°.
在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=AE,
2。