2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优突破二
压轴大题24分提高练(二)
20．(12分)某车床生产某种零件的不合格率为p(0<p<1)，要求这部车床生产的一组5个零件中，有2个或2个以上不合格品的概率不大于0.05.为了了解该车床每天生产零件的利润，现统计了该车床100天生产的零件组数(1组5个零件)，得到的条形统计图如下．
现以记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率．
(1)设平均每天可以生产n个零件，求n的值；
(2)求p的最大值p0；
(3)设每个零件的不合格率是p0，生产1个零件的成本是20元，每个合格零件的出厂价为120元，不合格的零件不得出厂，不计其他成本．假设每天该机床生产的零件数为n，X表示这部车床每天生产零件的利润，求X的数学期望E(X)．
(参考数据：0.924×1.32的取值为0.95)
解：(1)由题意知每天生产14组，15组，16组，17组零件的频率分别是0.2,0.3,0.4和0.1，所以n＝(14×0.2＋15×0.3＋16×0.4＋17×0.1)×5＝77.
(2)记ξ为一组零件中不合格品的个数，则
P(ξ≥2)＝1－[P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)]≤0.05，
即1－[(1－p)5＋C15·p·(1－p)4]≤0.05，
整理得(1－p)4(1＋4p)≥0.95.
记f (p )＝(1－p )4(1＋4p )，0<p <1，
则f ′(p )＝(－4)(1－p )3(1＋4p )＋4(1－p )4＝－20p (1－p )3<0，所以f (p )在(0,1)上单调递减．
又0.924×1.32的取值为0.95，即(1－0.08)4×(1＋4×0.08)＝0.95，所以f (0.08)＝0.95，因此(1－p )4(1＋4p )≥0.95等价于f (p )≥f (0.08)，所以p ≤0.08，故p 0＝0.08.
(3)设生产一个零件的利润为Y 元，
由题意，得Y 的可能取值是100和－20，
则P (Y ＝100)＝1－p 0＝0.92；P (Y ＝－20)＝p 0＝0.08.
所以Y 的分布列为
E (Y )＝100×0.92＋所以E (X )＝77E (Y )＝77×90.4＝6 960.8(元)．
21．(12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x e x ，其中x ∈(0，＋∞)，a ∈R .
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)若对任意的x >0，f (x )<1e x －1
恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ax e x －(ax ＋1)(e x ＋x e x )(x e x )2
＝－ax 2－x －1x 2e x . 当a ≥0时，f ′(x )＝－ax 2－x －1x 2e x
<0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 当a <0时，对于方程－ax 2－x －1＝0，Δ＝1－4a >0，方程－ax 2－x －1＝0
有两个不相等的实数根，记为x 1，x 2，解方程得x 1,2＝1±1－4a －2a
，不妨令x 1＝1－1－4a －2a ，x 2＝1＋1－4a －2a
，易知x 1<0，x 2>0，令f ′(x )>0，则x >x 2，令f ′(x )<0，则0<x <x 2，所以f (x )在(0，1＋1－4a －2a )上是减函数，在(1＋1－4a －2a
，＋∞)上是增函数．
综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；
当a <0时，f (x )在(0，1＋1－4a －2a )上是减函数，在(1＋1－4a －2a
，＋∞)上是增函数．
(2)f (x )<1e x －1可化为ax ＋1x e x <1e x －1
，因为x >0，所以e x －1>0，所以(ax ＋1)(e x －1)<x e x ，即(ax ＋1)(e x －1)－x e x <0.令g (x )＝(ax ＋1)(e x －1)－x e x ，则对任意的x >0，有g (x )<0恒成立．
g ′(x )＝a (e x －1)＋(ax ＋1)e x －e x －x e x ＝[(a －1)x ＋a ]e x －a ，令h (x )＝[(a －1)x
＋a ]e x －a ，则h ′(x )＝[(a －1)x ＋2a －1]e x ，令⎩⎪⎨⎪⎧
a －1≤0，2a －1≤0，得a ≤12，则h ′(x )<0， 此时h (x )在(0，＋∞)上是减函数，当x >0时，h (x )<h (0)＝0，所以g ′(x )＝h (x )<0，
所以g (x )在(0，＋∞)上是减函数，当x >0时，g (x )<g (0)＝0，符合题意． 当a ≥1时，a －1≥0,2a －1>0，当x >0时，有(a －1)x ＋2a －1>0，所以h ′(x )>0，h (x )在(0，＋∞)上是增函数，当x >0时，h (x )>h (0)＝0，所以g ′(x )＝h (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，当x >0时，g (x )>g (0)＝0，这与g (x )<0矛盾，不符合题意．
当12<a <1时，令h ′(x )>0，则(a －1)x ＋2a －1>0，得x <1－2a a －1
，所以h (x )在(0，1－2a a －1)上是增函数，当0<x <1－2a a －1
时，h (x )>h (0)＝0，所以g ′(x )＝h (x )>0，所以g (x )在(0，1－2a a －1)上是增函数，当0<x <1－2a a －1
时，g (x )>g (0)＝0，这与g (x )<0矛盾，不符合题意．
因此实数a 的取值范围为(－∞，12]．。