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2．若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列，c、a、b 成等 比数列，且 a＋3b＋c＝10，则 a＝__－__4____. 解析 由题意有 a＋c＝2b， 由 a＋3b＋c＝10，知 b＝2， ∴ab＋ c＝c＝ a2＝4，2c， 解得 a＝－4 或 a＝2， 由 a、b、c 互不相等知 a＝－4.
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[难点正本 疑点清源] 1．等比数列的特征
从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的， 公比 q 也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点 利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及 基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要 特别注意首项和公比的大小．
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3．等比数列的前 n 项和 Sn (1)等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的，注意 这种思想方法在数列求和中的运用． (2)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项和公式 Sn＝ a1(11－－qqn)＝a11－－aqnq (q≠1)共涉及五个量 a1，an，q，n， Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用． (3)在使用等比数列的前 n 项和公式时，如果不确定 q 与 1 的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比 q＝1 和 q≠1 两种情况．
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5．等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn， 当 q＝1 时，Sn＝na1； 当 q≠1 时，Sn＝a1(11－－qqn)＝a11－－aqnq.
6．等比数列前 n 项和的性质 公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为_q_n__.
综上所述，an＝2×33－n 或 an＝精2品×课件3n－3.
方法二 由 a3＝2，得 a2a4＝4， 又 a2＋a4＝230， 则 a2，a4 为方程 x2－230x＋4＝0 的两根，
解得a2＝23， a4＝6
a2＝6， 或a4＝23.
①当 a2＝23时，q＝3，an＝a3·qn－3＝2×3n－3. ②当 a2＝6 时，q＝13，an＝2×33－n，
＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比 q 等于 ( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析 由已知得 3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，两式作差得
3(S3－S2)＝a4－a3，化简整理得 a4＝4a3，故公比 q＝4.
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5．在等比数列{an}中，前 n 项和为 Sn，若 S3＝7，S6＝63，
§6.3 等比数列及其前 n 项和
基础知识 自主学习
要点梳理 1．等比数列的定义
如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这 个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母__q__表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an ＝ a1·qn－1 .
∴an＝2×3n－3 或 an＝2×33－n.
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题型二 等比数列的判定与证明 例 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1，
bn＝an－an－1 (n≥2)，且 an＋Sn＝n. (1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． 思维启迪：(1)由 an＋Sn＝n 及 an＋1＋Sn＋1＝n＋1 转化成 an 与 an＋1 的递推关系，再构造{an－1}． (2)由 cn 求 an 再求 bn.
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3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则 a7＋ a8＝__2_4_0____. 解析 ∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a1q2(1＋q)＝60， ∴q2＝2，
∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.
4．(2010·辽宁)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 3S3
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3．等比中项 若 G2＝a•b (ab≠0) ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．
4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m ，(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)， 则 ak·al＝am·an . (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， a1n，{a2n}，{an·bn}，abnn仍是等比数列．
解得qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
∴an＝2n－1 或 an＝23－n.
探究提高 转化成基本量的方程，进而解方程是解决数
列问题的基本方法．
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变式训练 1 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝230，求
{an}的通项公式．
解 方法一 设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0， a2＝aq3＝2q，a4＝a3q＝2q， ∴2q＋2q＝230，解得 q1＝13，q2＝3. ①当 q＝13时，a1＝18， ∴an＝18×13n－1＝31n8－1＝2×33－n. ②当 q＝3 时，a1＝29， ∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.
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基础自测 1．在数列{an}中，an＋1＝can (c 为非零常数)，且前 n 项和
6－3c Sn＝3n＋k，则实数 k＝___c_____. 解析 由 Sn＝3n＋k 知 a1＝S1＝3＋k， S2＝a1＋a2＝9＋k，∴a2＝S2－S1＝6. 又aa21＝c，即3＋6 k＝c，∴k＝6－c3c.
则公比 q 的值是( A )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析 方法一 依题意，q≠1， ∵a1(11－－qq3)＝7，① a1(11－－qq6)＝63.②
②÷①得 1＋q3＝9，∴q3＝8，∴q＝2.
方法二 ∵(a1＋a2＋a3)·q3＝a4＋a5＋a6，
而 a4＋a5＋a6＝S6－S3＝56， ∴7·q3＝56，q3＝8，q＝2.
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题型分类 深度剖析
题型一 等比数列的基本量的运算
例 1 已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8， 求 an. 思维启迪：利用等比数列的基本量的关系式，根据条
件列方程，进而求出 a1 和 q.
解 设{an}的公比为 q，由题意知
a1＋a1q＋a1q2＝7， a1·a1q·a1q2＝8，