π 2 则 ( D −d2 ) ×6 V 空 = 4 = 0.389 π 2 π 2 V 实 d1 ×4+ d2 ×2 4 4
T:
由于材料长度相同，所以空心轴的重量为实轴重量的38.9%。 由于材料长度相同，所以空心轴的重量为实轴重量的38.9%。
34
◆ 圆轴扭转时的强度和刚度设计
例题3 如图，已知M0=10KN·m， [τ]=60MPa，试绘扭矩图。 如图，已知M 10KN·m， ]=60MPa，试绘扭矩图。
解：此属于一次超静定。 此属于一次超静定。 静力方程， （1）静力方程，由∑Mx = 0 得 -MA-M0+M0+MB=0 MA=MB （2）变形几何方程 ） ϕAC +ϕCD +ϕDB = 0 （3）物理方程
MA ⋅ a ϕAC = GIp
(MA + M0)⋅ a ϕCD = GIp
MB ⋅ a ϕDB = GIp
dϕ T θ= = ≤ [θ ] dx GI P
θ max
Tmax 180 = × ≤ [θ ] GI P π
(° m)
29
◆ 圆轴扭转时的强度和刚度设计
已知：机床主轴箱内第4轴的传 例 题 1 已知：机床主轴箱内第 轴的传 动示意如图， 动示意如图，PⅡ ＝ 0.756kW， ， P Ⅳ ＝2.98kW, n=180.5 r/min,材 材 料为45钢 料为 钢，G=80GPa， ， [τ]=40MPa，[θ]=1.5(°)/m。 ， ° 。 设计轴的直径。 求: 设计轴的直径。 解：1）计算外力偶矩 ）
5
◆外力偶矩、扭矩、扭矩图 外力偶矩、扭矩、
扭 矩
截面法
T = Me
符号规定
6
◆外力偶矩、扭矩、扭矩图 外力偶矩、扭矩、
扭矩图 传动轴如图a 传动轴如图 所 示，主动轮 A 输入功 率为P 率为 A=36kW，从动 ， 轮输出功率为P 轮输出功率为 B= PC= 11kW， PD=14kW ， ， 轴的转速为 n=300r/min。 。 试画出轴的扭矩图。 试画出轴的扭矩图。
截面翘曲
矩形截面轴的自由扭转
切应力分布特点： 切应力分布特点：
1)沿边走 沿边走 2)角点为 角点为0 角点为 3)长边中点最大 长边中点最大 4)短边中点较大 短边中点较大
τmax
T = W t
T θ= GIt
It——相当极惯性矩 相当极惯性矩
39
◆ *非圆截面杆扭转时的切应力
狭长矩形截面
切应力表达式
a b
横截面保持平面， 横截面保持平面 ， 只能 发生刚性转动。 发生刚性转动。
c d
a b
c
γ
d
角应变γ (剪应变、切应变)：微元的 剪应变、切应变) 直角改变量
14
◆ 圆轴扭转时的应力
圆轴扭转变形特征
15
◆ 圆轴扭转时的应力
几何关系－ 几何关系－变形协调方程
dϕ γ (ρ) = ρ dx
16
◆ 圆轴扭转时的强度和刚度设计
例题2
BC段：同理，由扭转强度条件得 BC段 同理， 由扭转刚度条件得
d2 ≥ 67 (m ) m
d2 ≥ 74.5 (m ) m
取d2 = 74.5 (m ) m
（2）外径 D=84.6 mm，则内径 mm，
d = D⋅α = 0.8×84.6 = 67.68 (m ) m
◆ 圆轴扭转时的应力
物理关系－ 物理关系－剪切胡克定律
dϕ γ (ρ) = ρ dx
τ = Gγ
dϕ τ = Gγ = Gρ dx
17
◆ 圆轴扭转时的应力
静力关系－ 静力关系－静力学方程
静力关系
dϕ τ = Gγ = Gρ dx
dϕ T = dx G P I G---剪切弹模 ---剪切弹模 GIP—扭转刚度
2 A
其中：α = d / D
21
◆ 圆轴扭转时的应力 最大切应力
τmax
W = P
圆轴扭转时横截面上 的切应力表达式
Tρm T ax = = IP W P
扭截面系数 ρm 抗扭截面系数 ax
IP
πd3 实心圆截面 W = P 16
πD3 1 α4 － W= 圆环截面 P 16
(
)
其中：α = d / D
P 2 = 39.3 N⋅ m n P Me4 = 9549 4 =155 N⋅ m n Me3 = Me2 + Me4 =194.3 N⋅ m Me2 = 9549
2）画扭矩图 ） 3）强度校核 ） T 16 T τmax = max = max ≤[τ] W πD3 p
30
◆ 圆轴扭转时的强度和刚度设计
22
◆ 圆轴扭转时的应力
圆轴扭转时横截面上 的切应力表达式
切应力公式适用条件： 切应力公式适用条件：
Tρ τ(ρ) = IP
弹性范围 小变形 圆截面
23
◆ 圆轴扭转时的应力 纵截面上应力分布？ 纵截面上应力分布？
圆轴扭转时横截面上 的切应力表达式
切应力互等定理
τ =τ ′
24
◆ 圆轴扭转时的强度和刚度设计
例题1
16Tm ax D≥ = 27.2 m m π[τ ]
3
4）刚度计算 ）
θmax =
D≥ 4
T ax 180 m × ≤[θ] GIp π
32Tm ×180 ax = 29.5 m m 2 G [ϕ′] π
选 D=30 mm。
31
◆ 圆轴扭转时的强度和刚度设计
如图， 马力， 马力， ， 马力 马力 例 题 2 如图，传动轴 n=500r/min， P1=500马力， P2=200马力， P3=300马力，已知 [τ]=70MPa，[θ]=1o/m，G=80GPa。 马力， 马力 ， ， 。 求（1）确定 段，BC段直径。 确定AB段 段直径。 段直径 轴改为外径D=84.6mm， （2）轴改为外径 ， α=0.8的空心轴，比较两轴重量之比。 的空心轴， 的空心轴 比较两轴重量之比。 解（1） 1）计算外力偶矩
4
◆外力偶矩、扭矩、扭矩图 外力偶矩、扭矩、
外力偶矩 外力偶矩
1.功率为千瓦 1.功率为千瓦 n 2π × × M e = P × 1000 60
P(kW ) Me = 9549 (N⋅ m ) n (r/m ) in
2.功率为马力 2.功率为马力
P(马 ) 力 Me = 7024 (N⋅ m ) n (r/ m ) in
35
◆ 圆轴扭转时的强度和刚度设计
例题4 由几何和物理关系得补充方程
MA ⋅ a (MA +M0)⋅ a MB ⋅ a + + =0 GIp GIp GIp
2MA + M0 + MB = 0
MA=MB
M0 联立解得 MA = MB = − <0 3
“-”表示真实方向与假设的方向相反， 表示真实方向与假设的方向相反， 绘制扭矩图如图所示， 绘制扭矩图如图所示， 由图可知CD段为危险段。 由图可知CD段为危险段。 段为危险段
T 16T τmax = = 3 ≤[τ ] W πd1 t
16T 3 16×7024 d1 ≥ 3 = ≈80 (m ) m 6 π[τ ] π×70×10
T 180o ϕp = × ≤[ϕ] 4 πd1 π G 32
由扭转刚度条件
T:
d1 ≥ 84.6 (m ) m
取d1= 84.6 （mm）
33
1 3 It = hδ 3
τmax
T = δ It
T θ= GIt
40
◆ *非圆截面杆扭转时的切应力
切应力表达式
开口薄壁截面
1 3 It =η⋅ ∑ hδi i i= 3 1
41
n
◆ 圆轴扭转时的强度和刚度设计
已知： ＝ 已知：P＝7.5kW， n=100r/min， ， ， [τ]=40MPa，空心圆轴的内外直径 ， 之比 α = 0.5。二轴长度相同。 。二轴长度相同。 实心轴的直径d 求: 实心轴的直径 1和空心轴的外 直径D 确定二轴的重量之比。 直径 2；确定二轴的重量之比。 2）对于空心轴 ） 解：首先由轴所传递的功率计 ： 算作用在轴上的扭矩 16T T τmax 2 = = ≤[τ] P W 2 πD3(1−α4) Me =T = 9549× = 716.2 N⋅ m p 2 n 1）实心轴 ） 16T 3 D≥ = 0.046 m= 46 m m 2 4 T 16T π(1-α )[τ] τmax1 = = 3 ≤[τ] W1 πd1 3）重量之比 ） p
36
截面 扭转 的
矩形截面轴的扭转简介
平 面 假 设 不 再 存 在
37
◆ *非圆截面杆扭转时的切应力
截面翘曲
变形特征－翘曲
扭转后，横截面将不再保持平面 扭转后， 无正应力 自由扭转 ：翘曲程度相同 ——无正应力 翘曲程度相同
约束扭转 ：翘曲程度不同 ——有正应力 有正应力 翘曲程度不同
38
◆ *非圆截面杆扭转时的切应力
∫ (τdA)ρ ＝T
A
IP = ∫ ρ dA
2 A
18
◆ 圆轴扭转时的应力
切应力表达式
圆轴扭转时横截面上 的切应力表达式
dϕ 几何关系 γ (ρ) = ρ dx
物理关系
τ = Gγ
dϕ T = dx G P I
Tρ τ(ρ) = IP
静力关系
19
◆ 圆轴扭转时的应力
圆轴扭转时横截面上 的切应力表达式
P MeA = 7024 1 = 7024 (N⋅ m ) n
T:
Hale Waihona Puke MeB = 7024P 2 = 2809.6(N⋅ m ) n P MeC = 7024 3 = 4214.4(N⋅ m ) n