二、知识点梳理
知识点一：分式的定义
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B
A
叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件
1、分式有意义：分母不为0（0B ≠）
2、分式值为0：分子为0且分母不为
0（⎩
⎨⎧≠=00B A ）
3、分式无意义：分母为0（0B =）
4、分式值为正或大于0：分子分母
同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0
0B A ）
5、分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00
B A ）
知识点三：分式的通分
① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点四：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示
为：d
b c a d c b a ••=•
分式除以分式：式子表示为
c
c ••=•=÷b
d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子n n n
b a b a =⎪⎭⎫
⎝⎛
3、分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。
式子表示为
c
b
a c
b ±=±
c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。
式子表示为
bd
bc
ad d c ±=±b a 注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
知识点五：分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根； 如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
2、产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解； ②代入最简公分母后值为0。
三、典型例题
例一 当x 有何值时，下列分式有意义
（1）44+-x x （2）2
32+x x
（3）
1
22-x
（4）
3||6--x x
（5）
x
x 11-
例二：考查分式的值为0的条件
当x 取何值时，下列分式的值为0.
（1）3
1
+-x x
（2）
4
2||2--x x （3）
6
53222----x x x x
例三：考查分式的值为正、负的条件
（1）当x 为何值时，分式x -84
为正； （2）当x 为何值时，分式2
)1(35-+-x x 为负；
（3）当x 为何值时，分式3
2
+-x x 为非负数.
例四：化简求值题 1、已知：511=+y x
，求y xy x y xy x +++-2232的值。
2、已知：21=-x x ，求221x
x +的值。
提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y
x
11
+.
例五 若0106222=+-++b b a a ，求b
a b
a 532+-的值.
例六 如果21<<x ，试化简
x
x --2|
2|x x x x |||1|1+
---.
例七 计算
（1）87
4321814121111x x x x x x x x +-
+-+-+--； （2）
)
5)(3(1
)3)(1(1)1)(1(1+++
++++-x x x x x x ；
例八若关于x 的分式方程
3
132--=-x m
x 有增根，求m 的值.
例九 解下列不等式 （1）
01
2
||≤+-x x （2）
03
252
>+++x x x
四、课堂练习
1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1）
3
||61
-x
（2）
1
)1(32
++-x x （3）
x
1
11+
2．当x 为何值时，下列分式的值为零：
（1）4
|
1|5+--x x
（2）
5
62522+--x x x
（3）)
2)(1(1
)3)(1(2)3)(2(1--+
-----x x x x x x .
3、当a 为何整数时，代数式2
805
399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.
4、 已知：31
=+x x ，求1
242++x x x 的值.
5、已知：0132=+-a a ，试求)1)(1
(22a a a a --的值. 6、计算2
12
1111x x x ++
++-；
7、已知：1
21)12)(1(45--
-=---x B
x A x x x ，试求A 、B 的值.
8．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.
9、解下列方程（组）
(1)569108967+++++=+++++x x x x x x x x (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=+=+=+)
3(4
111)2(3
1
11)1(21
11x z z y y x
10、若分式方程
12
2-=-+x a
x 的解是正数，求a 的取值范围.
11．若
73212++y y 的值为8
1
,则96412-+y y 的值是（ ）
（A ）21-
（B ）171- （C ）7
1
- （D ）71
12.有三个连续正整数,其倒数之和是60
47
,那么这三个数中最小的是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
13．若d c b a ,,,满足
a d d c c
b b a ===,则2
222
d c b a da
cd bc ab ++++++的值为（ ） （A ）1或0 （B ）1- 或0 （C ）1或2-（D ）1或1- 14.方程7
10
11=
+
+
z y x 的正整数解()z y x ,,是_____. 15. 若11
,11=+=+
z
y y x ,则=xyz _____. 16．解方程:
708
115
209112716512311222222-+=
+++++++++++++x x x x x x x x x x x x .
五、课后作业
1、（1）当a 时，分式321
+-a a 有意义；（2）当_____时,分式4
312-+x x 无意义；
（3）当______时,分式68-x x 有意义；（4）当_______时,分式534-+x x 的值为1；
（5）当______时,分式
51+-x 的值为正；（6）当______时分式1
4
2+-x 的值为负.
2、（1）当分式
44x x --=-1时,则x__________； （2）若分式11
x x -+的值为零，则x 的值为 （3）当x________时,
1
x x x
-- 有意义. 3、计算： ①3333x x x x -+-+-； ②21221
1933a a a
+--+-； ③2111
111
x x x ++-+-.
4、若关于x 的方程1
101
ax x ++=-有增根，则a 的值为
5、如果分式方程11
x m
x x =
++无解，则m 的值为
6、如果解关于x 的方程2
22-=+-x x
x k 会产生增根，求k 的值.
7、当k 为何值时，关于x 的方程1)
2)(1(23++-=++x x k
x x 的解为非负数.
8、已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.
9．设轮船在静水中的速度为v ,该船在流水(速度为v u <)中从上游A 驶往下游B,再返回A ，所用的时间为T,假设0=u ,即河流改为静水,该船从A 至B 再返回A,所用时间为t ,则（ ）
（A）t
T>（D）不能确定T与t的大小关系T=（B）t
T<（C）t。