乘法公式与因式分解专题一、乘法公式 1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.常见的变形：22()()4a b a b ab -=+-1、计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1）原式．（2）原式． 22()()a b a b a b +-=-b a ,()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)(2)x x -+--(32)(23)x y y x ---2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222(2)4x x =--=-（3）原式 2、计算：(1)59.9×60.1；(2)102×98解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996 3、计算：(1)； (2)；(3)；(4)．解：(1) ．(2) ．(3) ．(4)4、已知m ﹣n ＝3，mn ＝2，求： （1）（m +n ）2的值； （2）m 2﹣5mn +n 2的值． 解：∵m ﹣n ＝3，mn ＝2，∴（1）（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝（m ﹣n ）2+4mn ＝9+8＝17； （2）m 2﹣5mn +n 2＝（m +n ）2﹣7mn ＝9﹣14＝﹣5．5、已知有理数m ，n 满足（m +n ）2＝9，（m ﹣n ）2＝1，求下列各式的值． （1）mn ；22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-22600.1-221002-()23a b +()232a -+()22x y -()223x y --()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++（2）m2+n2﹣mn．解：（m+n）2＝m2+n2+2mn＝9①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝1②，（1）①﹣②得：4mn＝8，则mn＝2；（2）①+②得：2（m2+n2）＝10，则m2+n2＝5．所以m2+n2﹣mn＝5﹣2＝3．6、已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．二、因式分解1、因式分解：（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.2、公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.3、因式分解的方法： （1）提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即．（2）公式法①公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：②公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，.形如，的式子叫做完全平方式. （3）十字相乘法 （4）分组分解法7、下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．（3﹣x ）（3+x ）＝9﹣x 2 B ．（y +1）（y ﹣3）＝（3﹣y ）（y +1） C ．4yz ﹣2y 2z +z ＝2y （2z ﹣zy ）+z D ．﹣8x 2+8x ﹣2＝﹣2（2x ﹣1）2解：A 、（3﹣x ）（3+x ）＝9﹣x 2，是整式的乘法运算，故此选项错误；B 、（y +1）（y ﹣3）≠（3﹣y ）（y +1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；m ()()22a b a b a b -=+-()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+C 、4yz ﹣2y 2z +z ＝2y （2z ﹣zy ）+z ，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D 、﹣8x 2+8x ﹣2＝﹣2（2x ﹣1）2，正确．故选：D ． 8、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．﹣1＝（+1）（﹣1）B ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2C ．x 2﹣x ﹣2＝（x +1）（x ﹣2）D ．ax ﹣ay ﹣a ＝a （x ﹣y ）﹣1解：A 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A 错误； B 、是整式的乘法，故B 错误；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误；故选：C ． 9、(1)多项式的公因式是________；(2)多项式的公因式是________；(3)多项式的公因式是________；(4)多项式的公因式是________． 【答案】(1)3 (2)4 (3) (4) 解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是．公因式为4. (3)公因式是（），为一个多项式因式．(4)多项式可变形，其公因式是．2363x xy -+324168mn m m --()()()x b c a y b c a a b c +--+----2(3)(3)x x x -+-m b c a +-3x -m m b c a +-()()233x x x ---3x -10、把﹣6x y ﹣3x y ﹣8x y 因式分解时，应提取公因式（ ）A.﹣3x yB.-2x yC.x yD.﹣x y【答案】D ．【解析】解：﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3=﹣x 2y 2（6x+3+8y ），因此﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3的公因式是﹣x 2y 2．11、把下列各式因式分解：（1）__________.（2）_________________.【答案】（1）；（2）【解析】.12、因式分解：____________.【答案】； 【解析】.13、分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）．（2）．（3）．322223222222222168a b ab --=()()2232xx y x y x ---=()821ab a -+()()221xx y x --()()()()()()22222323221xx y x y x x x y x x y x x y x ---=---=--()()2222y x y x +++=()()22y x x y +++()()()()()()22222222y x y x y x x y y x x y +++=+++=+++229a b -22251x y -22168194a b -+214m -+22229(3)(3)(3)a b a b a b a b -=-=+-2222251(5)1(51)(51)x y xy xy xy -=-=+-2222168194949494232323a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）． 14、分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）．（2）．（3）．（4）．15、分解因式：（1）（3x ﹣2）2﹣（2x +7）2（2）8ab ﹣8b 2﹣2a 2解：（1）原式＝[（3x ﹣2）+（2x +7）][（3x ﹣2）﹣（2x +7）]＝（3x ﹣2+2x +7）（3x ﹣2﹣2x ﹣7）＝（5x +5）（x ﹣9）＝5（x +1）（x ﹣9）； （2）原式＝﹣2（a 2﹣4ab +4b 2）＝﹣2（a ﹣2b ）2． 16、因式分解：（1）3x 2y ﹣18xy 2+27y 3（2）x 2（x ﹣2）+（2﹣x ）解：（1）3x 2y ﹣18xy 2+27y 3＝3y （x 2﹣6xy +9y 2）＝3y （x ﹣3y ）2；（2）x 2（x ﹣2）+（2﹣x ）＝（x ﹣2）（x 2﹣1）＝（x ﹣2）（x +1）（x ﹣1）． 17、分解因式：（1）1﹣a 2﹣b 2﹣2ab （2）9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）22214(2)1(21)(21)m m m m -+=-=+-21449x x ++29124x x -+214a a ++22111162a b ab -+22221449277(7)x x x x x ++=+⋅⋅+=+22229124(3)2322(32)x x x x x -+=-⋅⋅+=-2222111124222a a a a a ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222221111112111162444a b ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫-+=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）原式＝1﹣（a +b ）2＝（1+a +b ）（1﹣a ﹣b ）；（2）原式＝9a 2（x ﹣y ）﹣4b 2（x ﹣y ）＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）•（3a ﹣2b ）．18、已知4x 2+y 2﹣4x +10y +26＝0，求6x ﹣y 的值．解：∵4x 2+y 2﹣4x +10y +26＝4（x ﹣）2+（y +5）2＝0，∴x ＝，y ＝﹣5，则原式＝3+1＝4． 19、将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝（3）20、分解因式：（1）； （2）； （3）解：（1）（2）21016x x -+2310x x --78x x x -=-()()78x x +-2810x x x --=-()()28x x --()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+-1072++x x 822--x x 2718x x --+()()271025x x x x ++=++()()22842x x x x --=-+（3）21、因式分解：m 2n ﹣5mn+6n. 解：m 2n ﹣5mn+6n=n （m 2﹣5m+6） =n （m ﹣2）（m ﹣3）.22、将下列各式分解因式：（1）；（2）解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝23、分解因式：解：原式【练习】1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+91019y y y +=()()2335y y ++21183x x x -=()()2379x x +-22244a b ab c +--()()()22222(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--A.))((n m n m +--B.()()3333x y xy -+ C.))((b a b a --- D.()()2222c d dc -+【答案】A ；【解析】A 中m 和m -符号相反，n 和n -符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )． A.11 B.15 C.30 D.60【答案】C ；【解析】()()22x y x y x y -=+-＝6×5＝30. 3．下列计算正确的是( )． A.()()55m m -+＝225m -B. ()()1313m m -+＝213m -C.()()24343916n n n ---+=-+D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n-【答案】C ；【解析】()()55m m -+＝225m -；()()1313m m -+＝219m -；(2ab n -)(2ab n +)＝2224a b n -. 4．下列多项式不是完全平方式的是( )． A.244x x --B.m m ++241C.2296a ab b ++D.24129t t ++【答案】A ； 【解析】2211()42m m m ++=+；22296(3)a ab b a b ++=+；224129(23)t t t ++=+.5．已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（ ）A ．10B ．±10C ．﹣20D ．±20【答案】D ；【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，∵﹣m=±20，即m=±20.6．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______． 【解析】222216244x ax x x ++=±⨯+，所以4a =±7. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______． 【解析】2294x y +＝()23212x y xy +- 8. 若x y +＝3，xy ＝1，则22x y +＝_______.【解析】()2222x y x y xy +=++，22927x y +=-= 9. 用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．（1）69×71； （2）992．解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．10. 怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1=1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 411.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a ，其中3=a ．解：223(1)5(1)(1)2(1)a a a a +-+-+- ()()()22232151221210a a a a a a =++--+-+=+当3,=231016a =⨯+=时原式12、已知a ﹣b ＝7，ab ＝﹣12．（1）求a 2b ﹣ab 2的值；（2）求a 2+b 2的值；（3）求a +b 的值．解：（1）∵a ﹣b ＝7，ab ＝﹣12，∴a 2b ﹣ab 2＝ab （a ﹣b ）＝﹣12×7＝﹣84；（2）∵a ﹣b ＝7，ab ＝﹣12，∴（a ﹣b ）2＝49，∴a 2+b 2﹣2ab ＝49，∴a 2+b 2＝25；（3）∵a 2+b 2＝25，∴（a +b ）2＝25+2ab ＝25﹣24＝1，∴a +b ＝±1．13、分解因式：（1）； （2）； （3）； （4） 【答案与解析】解：（1）． （2）．（3）． （4）． 14. 如果229x kxy y ++是一个完全平方公式，那么k 是（ ）A.6B.－6C.±6 Ｄ.1815. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）A.2991x x --B.2691y y -++ Ｃ.2169y y -- D.2931y y -- 16. 若()22416-=+-x mx x ，那么________m =． 17. 分解因式：214m m ---＝_____________. 2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-18、因式分解:＝_____________. 【答案】；【解析】.19、若，＝_____________.【答案】1；【解析】，所以，. 20、下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）A ．（a +1）（a ﹣1）＝a 2﹣1B ．x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）C ．x 2﹣4+3x ＝（x +2）（x ﹣2）+3xD ．x 2﹣1＝x （x ﹣） 解：A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2），故B 符合题意；C 、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C 不符合题意；D 、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D 不符合题意；故选：B ．21、因式分解：（1）2x （a ﹣b ）+3y （b ﹣a ） （2）x （x 2﹣xy ）﹣（4x 2﹣4xy ）解：（1）原式＝2x （a ﹣b ）﹣3y （a ﹣b ）＝（a ﹣b ）（2x ﹣3y ）；（2）原式＝x 2（x ﹣y ）﹣4x （x ﹣y ）＝x （x ﹣y ）（x ﹣4）．22、已知x +y ＝4，x 2+y 2＝14，求x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3的值．()222224m nm n +-()()22m n m n +-()()()()()22222222222422m n m n m n mn m n mn m n m n +-=+++-=+-224250x y x y +-++=x y +()()2222425210x y x y x y +-++=-++=2,1x y ==-1x y +=解：∵x +y ＝4，∴（x +y ）2＝16，∴x 2+y 2+2xy ＝16，而x 2+y 2＝14，∴xy ＝1，∴x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3＝xy （x 2﹣2xy +y 2）＝14﹣2＝12．23、分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.解：（1）； （2）； （3）（4）（5）原式268x x -+21024x x +-215238a a -+22568x xy y -++225533a b a b --+()()26824x x x x -+=--()()21024122x x x x +-=+-()()2152381581a a a a -+=--()()()2222568568542x xy y x xy y x y x y -++=---=-+-()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-。