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第七章
1．填空题
多元函数微分学
作业 1 多元函数
x 2 (1 − y 2 ) y⎞ 2 2 ⎛ f x + y , = x − y （1）已知函数 ⎜ ，则 f ( x , y ) = ； ⎟ 2 x⎠ ⎝ (1 + y )
（2） z = arcsin
x2 + y 2 + x 2 + y 2 − 4 的定义域是 9
不存在，从而在 ( 0, 0 ) 处不可微.
5
《高等数学》同步作业册
⎧ x 2 + y 2 sin 1 , ) x2 + y2 ⎪( 3．设函数 f ( x , y ) = ⎨ ⎪0, ⎩
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
试证： （ 1）函数 f ( x , y ) 在点 ( 0, 0) 处是可微的；
=
2 ； 5
（2）（ 3）设 f ( x , y ) = ln ⎜ x +
⎛ ⎝
x =1 y=0
1 ； 2
（3）设 u = xz 2 + sin
x ∂ 4u ，则 2 = y ∂x ∂y∂z
0
；
⎧ x2 + y2 π ⎪z = （4）曲线 Γ : ⎨ 4 在点 ( 2, 4, 5) 处的切线与 Ox 轴正向的倾角是 . 4 ⎪y = 4 ⎩
（5）函数 z = 2．求下列极限 （1） lim 全平面 ；
y2 + 2x 在 y 2 = 2 x 处间断. 2 y − 2x
3 − 9 + xy ； x →0 x y y →0
解： lim
3 − 9 + xy 3− 9+ t −t 1 = lim = lim =− x→0 t→ 0 t→ 0 xy t 6 3+ 9 +t y →0
从而极限 lim f ( x, y ) 不存在，故作为二元函数在点 (0 , 0) 却不连续.
x→ 0 y →0
2
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作业 2 偏导数
1．填空题 （1）设 f ( x , y) = x + y −
x 2 + y 2 ，则 f x ( 3 , 4) = y ⎞ ∂f ，则 ⎟ 2x ⎠ ∂y
（4） u =
x x 2 + y2
在点 ( 0 , 1) 处的 d u = dx ；
（5） u = (ln y ) cos x ,则 d u = (ln y) cos x ⎢− ln ln y ⋅sin xdx +
⎡ ⎣
cos x ⎤ dy ； y ln y ⎥ ⎦
（6） u = ( ) z ,则 du = ( ) z ⎜
∆z = −0.2040402004 ，全微分 d z = −0.20 ；
（3）设 z = f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处的全增量为 ∆ z ，全微分为 dz ，则 f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 处的全增量与全微分的关系式是 ∆z = dz + o ( dz ) ；
y → +∞
y → +∞
由于 lim te − t = lim
t → +∞
t 1 t2 2t 2 2 −t = lim = 0 ， lim t e = lim = lim t = lim t = 0 ， t t t t → +∞ e t → +∞ e t → +∞ t → +∞ e t → +∞ e t → +∞ e
1 x 2 sin 2 − 0 f ( x , 0) − f ( 0, 0) x 证：因为 f x ( 0, 0) = lim = lim = 0, f y ( 0, 0) = 0 x →0 x → 0 x −0 x −0 2 2 1 ( ∆x ) + ( ∆y ) sin 2 2 ∆x ) + ( ∆y ) ∆z − dz ( 又 lim = lim =0 2 2 2 2 ∆x →0 x→ 0 ∆y →0 ∆ y→ 0 ( ∆x ) + ( ∆y ) ∆ ( ∆x ) + ( ∆y )
x
2．设 u = e ，
x
y2
证明
2x
∂u ∂u +y = 0. ∂x ∂y
x
2 1 2 −2 x ∂u ∂u 证:因为 = ey 2 , = ey ∂x y ∂y y3
所以 2 x
∂u ∂u 2 1 2 −2 x 2 2x 2 − 2x +y = 2 xe y 2 + ye y =ey 2 +ey =0 3 ∂x ∂y y y y y2
解：沿着曲 线 y = kx3 , ( x, y ) → ( 0, 0) , 有 lim
因 k 而异，从而极限 lim
x→0 y →0
x3 y 不存在 x6 + y 2
⎧ 2 xy 2 2 ⎪x2 + y2 , x + y ≠ 0 4 ．证明 f ( x, y ) = ⎨ 在点 ( 0 , 0) 分别对于每个自变量 x 或 2 2 ⎪0 , x +y =0 ⎩
y 都连续，但作为二元函数在点 (0 , 0) 却不连续.
解：由于 f ( x , 0) ≡ 0, f (0, y ) ≡ 0, 从而 可 知 在点 ( 0 , 0) 分别 对 于 每 个 自 变 量 x 或 y 都连 续 ， 但 沿着 曲 线
2 xy 2kx 2 2k lim 2 = lim 2 = 因 k 而异， y = kx, ( x, y ) → ( 0, 0 ) , 有 x → 2 2 2 0 x → 0 x +y x + k x 1+ k 2 y = kx→ 0
x
x
x
x
3. 设 z = y ln x ，求
∂2 z ∂2 z ， . ∂x 2 ∂x∂y
解： z
= eln x⋅ln y ，
2
从而
∂z ln y ∂ 2 z ln x⋅ln y ⎛ ln y ⎞ ln 2 y − ln y ln x ln xln ⋅ y − ln y = eln x⋅ln y ⋅ , 2 =e ⋅⎜ + e ⋅ = y , ⎟ ∂x x ∂x x2 x2 ⎝ x ⎠
（2） lim ( x 2 + y 2）e −( x + y ) .
x → +∞ y → +∞
2 − (x + y ) 解： y = x3 lim ( x 2 + y 2）e− ( x + y ) = lim ⎡ (x + y） e − 2xe −x ye −y ⎤ ⎦ x → +∞ x → +∞ ⎣
(
)
所以函数 f ( x , y ) 在点 ( 0, 0) 处是可微的
（2）函数 f x ( x , y ) 在点 ( 0, 0) 处不连续. 证：当 x 2 + y 2 ≠ 0, f x ( x , y ) = 2 x sin
1 2x 1 − 2 cos 2 2 2 x +y x +y x + y2
解：因为
∂u = z⋅ ∂x
x⎞ y⎟ ⎠
2
1 yz ∂ 2 u 0 − yz ⋅ 2 x −2 xyz = 2 , = = 2 2 2 2 y x + y ∂x ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 )
∂u = z⋅ ∂y
1 ⎛ 1+ ⎜ ⎝
−x − xz ∂ 2u 0 − xz ⋅ 2 y 2 xyz = , 2 =− = 2 2 2 2 2 2 x + y ∂y x⎞ y x2 + y2 ) x2 + y2 ) ( ( y⎟ ⎠
在 ( 0, 3) 点处不连续
4
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作业 3 全微分及其应用
1．填空题 （1） z = f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处偏导数存在是 z = f ( x, y) 在该点可微的 必要 条件； （2）函数 z = x 2 y 3 在点 ( 2, − 1) 处，当 ∆x = 0.02, ∆y = −0.01 时有全增量
{( x, y ) 4 ≤ x
2
+ y2 ≤ 9 ；
}
（3） z = ln[ x ln( y − x)] 的定义域是
{( x, y ) , x > 0, y > x + 1} ∪ {( x , y ) x < 0, x < y ≤ x + 1} ；
⎧ sin xy , x≠0 ⎪ （4）函数 f ( x, y ) = ⎨ x 的连续范围是 ⎪ x=0 ⎩y ,
∂u x ∂ 2u = arctan , 2 = 0, ∂z y ∂x
所以
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u −2 xyz 2 xyz + 2 + 2 = + +0= 0 2 2 2 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z x + y x + y ( ) ( )
⎧ x 2 x 2 + y 2 sin 1 , ⎪ ( ) x 5．设函数 f ( x , y ) = ⎨ ⎪ ⎩0,
（1）试求 f ( x , y ) 的偏导函数；
Байду номын сангаас
x≠0 x=0
.
1 1 −1 + x 2 ( x 2 + y 2 ) cos ⋅ 2 x x x 1 1 1 f y ( x , y ) = 2 x 2 y sin ， f x ( x, y ) = ( 4 x3 + 2 xy 2 ) sin − ( x 2 + y 2 ) cos x x x 1 x 2 ( x 2 + y 2 ) sin − 0 f ( x, y ) − f ( 0, y ) x 当 x ≠ 0, f x ( 0, y ) = lim = lim =0 x→ 0 x → 0 x −0 x