1 1 2 2 n n 1
从第二项开 1 1 1 始放缩 ( ) (n 2)
1 1 变式3 求证： 1 2 2 2 3
1 5 2 ( n N ) n 3
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路一 将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和. 保留第一项， 1 1 1 1 从第二项开 (n 2) 始放缩 n n(n 1) n 1 n 1 1 1 1 1 左边 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n 1 n
2
1 1 1 2 (n 2) n
* 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 2) 2 (2n 1) 4n 4n 4n(n 1) 4 n 1 n
1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 (1 ) ( ) ( 4 2 2 3 n 1 n 1 1 1 (1 ) 1 1 5 n 2 4 n 4 4
2i 1 1 1 i i 1 i (i 2) i 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1
1 1 ai (ai 1) 2 ( 2 ) 2 1 2 1 i 1
n
1 1 ( n1 n ) 3 n 3(n 2) 2 1 2 1 2 1
当n = 1时，不等式显然也成立.
（08· 辽宁卷）已知：an n(n 1), bn (n 1) 1 1 1 5 求证：a b a b an bn 12 . 1 1 2 2
2
1 1 1 1 1 1 ( ) an bn (n 1)(2n 1) 2n(n 1) 2 n n 1
1
当 n 1 时，有 2 3 也成立．
常见的裂项放缩技巧：
1 1 1 1 1 1 1. 2 2 n n 1 (n 1)(n 1) 2 n 1 n 1 1 4 4 4 1 1 2 2 2 2 n 4n 4n 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 1 n(n 1) n 2 n n n(n 1) n 1 n
用放缩法证明 数列中的不等式
普宁侨中 郑庆宏
放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几 年的广东高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技 巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又 太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得 高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何 把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩 法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律， 放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列 问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭 开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！
保留前两项，从 第三项开始放缩
1 1 1 1 1 左边 1 2 ( ) ( ) 2 2 3 3 4
1 1 ( ) n 1 n
1 1 1 7 1 7 1 (n 3) 4 2 n 4 n 4
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
1 1 1 1 1 1 左边 [(1 ) ( ) ( )] 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 (1 ) 表面是证数列不等式， 2 2n 1 2 实质是数列求和
1 1 变式1 求证： 1 2 2 2 3
1 2 2 ( n N ) n
1 1 1 变式2 求证： 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2 3 变式3 求证： 2 3 2 1 2 2 2 3
1 1 1 例1 求证： 2 3 2 2 2
1 n 1 (n N ) 2
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
1 1 变式3 求证： 1 2 2 2 3
1 5 2 ( n N ) n 3
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 4 4 1 1 2 2 2( ) (n 2) 2 n 4n 4n 1 2n 1 2n 1
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变
式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式1更小一点. 保留第一项，
2 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 左边 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 4 n 1 n 1 1 1 7 1 1 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) (n 2) 2 2 4 2 2 n n 1 当n = 1时，不等式显然也成立.
当n = 1时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路一 将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 1 1 1 (n 3) 2 n n(n 1) n 1 n
1 2 （欧拉常数）. 2 6 k 1 k

【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.
证明
牛刀小试（变式练习1） 1 1 1 5 求证： 1 (n N ) 3 5 (2n 1) 4
1 1 变式3 求证： 1 2 2 2 3
1 5 2 ( n N ) n 3
例2 (2013广东文19第(3)问 ) 1 1 1 1 1 求证： ( n N ) 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 2 分析 左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩. 1 1 1 1 ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？ n n 注意到 2 n 2
n n
将通项放缩为 错 位相减模型
1 2 3 左边 2 2 2
2 3
n2 n 2 2 2 2
n n
【方法总结之一】
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若
a 可直
i 1 i
（一）形如 a k (k为常数）
i i 1 n
1 1 1 例1 求证： 2 3 2 2 2
1 2 3 变式1 求证： 2 3 2 2 2
1 n 1 (n N ) 2
n n 2 (n N ) 2
1 n 1 (n N ) 2 1 n n 2 (n N ) 2 n
保留前两项， 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 3) 从第三项开 2 n n 1 2 n 1 n 1 始放缩
1 1 1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) (n 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n 1
1 1 1 1 1 1 1 ( 故 6 2 2 3 3 4 i 1 ai bi
5 1 12 2(n 1) 5 . ( n 2) 12
n
1 1 ) n n 1
1 5 当 n 1 时，有 也成立． 6 12
n 2n 练习: 已知数列 {an } 中 an n , 求证: ai (ai 1) 3 . 2 1 i 1 i 2 2i ai (ai 1) i i i (2 1)(2 1) (2 1)(2i 2)
例2 (2013广东文19第(3)问 ) 1 1 1 求证： 1 3 3 5 5 7 1 1 ( n N ) (2n 1)(2n 1) 2
1 1 变式1 求证： 1 2 2 2 3
1 2 2 ( n N ) n
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
n
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要 先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不 多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项 相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相 消模型.
n n
将通项放缩为 等比数列
1 1 1 左边 2 3 2 2 2
1 1 1 2 (1 2 ) 1 n 1 n 1 1 2 2 1 2
n
1 2 3 变式3 求证： 2 3 2 1 2 2 2 3
n n 2 (n N ) 2 n
常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关， 其基本结构形式有如下 4 种： ①形如 ③形如
a
i 1 n i 1
n
i
；②形如 ai f (n) ； k （ k 为常数）
i 1