2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．若直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，则直线AB的倾斜角为．2．如果平面α∥平面β 且直线l⊥α，那么直线l与平面β 的位置关系是．3．函数f（x）=x•e x，则f′（1）=．4．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为．5．已知抛物线的准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程为．6．棱长为1的正方体的外接球的表面积为．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为．8．已知函数f（x）=lnx+x，若函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x ﹣y+1=0平行，则x0=．9．如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为．10．椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．11．已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间[0，2]内单调递减，则实数a的取值范围是．12．若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．13．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2x]=3成立，若方程f（x）﹣f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=．14．过点P（1，3）的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，在A，B两点处的切线分别为l1、l2，若l1和l2交于点Q，则圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=﹣x3+x2+3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，4]上的最大值为26，求a的值．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．17．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当时，求直线CD的方程；（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．18．请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2，1百元/m2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且．（1）设该仓库的侧面总造价为y，写出y关于θ的函数关系式；（2）问θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．19．已知椭圆的离心率为，一条准线方程为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点．①若m=﹣2，当△OPQ面积最大时，求直线l的方程；②当k≠0时，若以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点．20．已知函数，曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e 垂直．（1）求a的值及f（x）的极值；（2）是否存在区间，使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式x2f（x）＞k（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．若直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，则直线AB的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】根据斜率公式直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围求出倾斜角的大小．【解答】解：∵直线经过A（1，0）、B（0，﹣1）两点，故直线AB的斜率k=1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，且tanα=1，∴α=，故答案为：．2．如果平面α∥平面β 且直线l⊥α，那么直线l与平面β 的位置关系是l⊥β．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由已知中平面α∥平面β 且直线l⊥α，根据面面平行的几何特征及线面垂直的判定方法，易得到直线l⊥平面β，得到答案．【解答】解：∵平面α∥平面β又∵直线l⊥平面α故直线l⊥平面β故答案为：l⊥β3．函数f（x）=x•e x，则f′（1）=2e．【考点】导数的运算．【分析】根据（uv）′=u′v+uv′和（e x）′=e x，求出函数的导函数，把x等于1代入到导函数中即可求出f′（1）的值．【解答】解：f′（x）=（x•e x）′=e x+xe x，∴f′（1）=e+e=2e．故答案为：2e．4．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．【考点】圆的标准方程．【分析】由圆心在y轴上，设出圆心的坐标（0，b），又圆的半径为1，写出圆的标准方程，由所求圆过（1，2），把（1，2）代入圆的方程即可确定出b的值，从而得到圆的方程．【解答】解：由圆心在y轴上，设出圆心坐标为（0，b），又半径为1，∴所求圆的方程为x2+（y﹣b）2=1，由所求圆过（1，2），代入圆的方程得：1+（2﹣b）2=1，解得：b=2，则所求圆的方程为：x2+（y﹣2）2=1．故答案为：x2+（y﹣2）2=15．已知抛物线的准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程为y2=8x．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=4，得到抛物线方程．【解答】解：由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），准线方程是x=﹣，∵抛物线的准线方程为x=﹣2，∴=2，解得p=4，故所求抛物线的标准方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．6．棱长为1的正方体的外接球的表面积为3π．【考点】球内接多面体．【分析】本题考查一个常识，即：由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得R，再代入球的表面积公式可得球的表面积．【解答】解：设正方体的棱长为a，正方体外接球的半径为R，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=，即R===；2=3π．所以外接球的表面积为：S球=4πR故答案为：3π7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得a 和b的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±，一条渐近线的方程为y=2x，∴=2，设a=t，b=2t则c==t∴离心率e==故答案为：8．已知函数f（x）=lnx+x，若函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x﹣y+1=0平行，则x0=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导函数，利用切线斜率，然后即可．【解答】解：函数f（x）=lnx+x，可得函数f′（x）=+1，函数f（x）在点P（x0，f（x0））处切线与直线3x﹣y+1=0平行，可得：，解得x0=．故答案为：．9．如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为x﹣y+1=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】利用垂直平分线的性质即可得出．【解答】解：∵k AB==﹣1，线段AB的中点为，两点A （a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y﹣=x﹣，化为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．10．椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】由圆的方程求得圆的半径，要使椭圆与圆有四个不同交点，则圆的半径大于椭圆短半轴小于椭圆长半轴长，由此得到不等式求得椭圆离心率的范围．【解答】解：由圆x2+y2=（+c）2是以原点为圆心，以为半径的圆，∴要使椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2有四个不同交点，则，由，得b＜2c，即a2﹣c2＜4c2，即；联立，解得或e＞1（舍）．∴椭圆离心率的取值范围是．故答案为：．11．已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间[0，2]内单调递减，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由函数f（x）=x3﹣ax2+1在[0，2]内单调递减转化成f'（x）≤0在[0，2]内恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在[0，2]内单调递减，∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在[0，2]内恒成立．即a≥x在[0，2]内恒成立．∵t=x在[0，2]上的最大值为×2=3，∴故答案为：a≥3．12．若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．【考点】基本不等式；直线和圆的方程的应用．【分析】依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，再利用ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+，求得ab的取值范围．【解答】解：∵直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，∴直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），∴有a+2b=1，∴ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+≤，∴ab的取值范围是．故答案为：．13．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2x]=3成立，若方程f（x）﹣f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=1．【考点】函数零点的判定定理；函数与方程的综合运用．【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故答案为：1．14．过点P（1，3）的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，在A，B两点处的切线分别为l1、l2，若l1和l2交于点Q，则圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为﹣2．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设动直线的方程为：y﹣3=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣kx+k﹣3=0．对y=x2求导，y′=2x，可得切线l1、l2的方程分别为：y﹣y1=2x1（x﹣x1），y﹣y2=2x2（x﹣x2）．化为：y=2x1x﹣，y=2x2x﹣，再利用根与系数的关系可得：Q，其轨迹方程为：y=2x ﹣3．圆x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2）．求出圆心C到直线的距离d．即可得出圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为d﹣r．【解答】解：设动直线的方程为：y﹣3=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．联立，化为：x2﹣kx+k﹣3=0，∴x1+x2=k，x1x2=k﹣3．对y=x2求导，y′=2x，切线l1、l2的方程分别为：y﹣y1=2x1（x﹣x1），y﹣y2=2x2（x﹣x2）．化为：y=2x1x﹣，y=2x2x﹣，相减可得：x==，相加可得：y=（x1+x2）x﹣ [﹣2x1x2]=﹣=k﹣3．解得Q，其轨迹方程为：y=2x﹣3．圆x2+（y﹣2）2=4的圆心C（0，2）．圆心C到直线的距离d==＞2=r．∴圆x2+（y﹣2）2=4上的点与动点Q距离的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f （x ）=﹣x 3+x 2+3x +a （a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）若函数f （x ）在区间[﹣4，4]上的最大值为26，求a 的值． 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出导数，令导数大于0，解不等式即可得到所求增区间； （2）求得f （x ）在区间[﹣4，4]内的单调区间，求得极值，以及端点处的函数值，可得最大值，解方程可得a 的值． 【解答】解：（1），则f′（x ）=﹣x 2+2x +3，令f′（x ）＞0，即﹣x 2+2x +3＞0，解得﹣1＜x ＜3， 所以函数f （x ）的单调减区间为（﹣1，3）． （2）由函数在区间[﹣4，4]内的列表可知：函数f （x ）在（﹣4，﹣1）和（3，4）上分别是减函数，在（﹣1，3）上是增函数． 又因为，所以f （﹣4）＞f （3），所以f （﹣4）是f （x ）在[﹣4，4]上的最大值， 所以，即．16．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，∠ABC=90°，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PB ，PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：平面AEF ⊥平面PAB ．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．∴EF∥BC，又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，由（1）中EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，又∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．17．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若点P的坐标为（0，0），求∠APB；（2）若点P的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C、D两点，当时，求直线CD的方程；（3）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）求出MP=2，推出∠MPA=∠MPA=30°，即可求出∠APB．（2）当直线斜率不存在时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线CD方程为y﹣1=k（x﹣2），利用圆心M到直线CD的距离为，求出k没然后求解直线方程．（3）设P（2m，m），MP的中点，求出经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，的方程，然后求解，交点坐标，推出经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点．【解答】解：（1）因为点P坐标为（0，0），所以MP=2，又因为MA=MB=1，所以∠MPA=∠MPA=30°，故∠APB=60°．（2）当直线斜率不存在时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线CD方程为y﹣1=k（x﹣2）因为，所以圆心M到直线CD的距离为，由，解得k=﹣1或，故直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA为圆M的切线，所以经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，故其方程为化简得x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，由，解得或，所以经过A、P、M三点的圆经过异于点M的定点．18．请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2，1百元/m2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且．（1）设该仓库的侧面总造价为y，写出y关于θ的函数关系式；（2）问θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据题意圆锥侧面S1=rl=×，圆柱侧面S2=2π×5×（5﹣5tanθ），侧面总造价为y=4S1+S2．（2）利用导函数求解y的单调性，利用单调性求最小值．即可求出此时圆锥的高度．【解答】解：（1）由题意=，；（2）由（1）可得y=，；那么：令解得：，∵，∴，列表：所以当时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为m．19．已知椭圆的离心率为，一条准线方程为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点．①若m=﹣2，当△OPQ面积最大时，求直线l的方程；②当k≠0时，若以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由e==，准线方程x==，求得a和c，b2=a2﹣c2，求得椭圆方程；（2）①将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，采用换元法，利用基本不等式式的性质，求得△OPQ面积最大的最大值时，求得对应的k值，求得直线l的方程；②AP⊥AQ，利用向量数量积的坐标运算求得5m2+16km+12k2=0，求得m和k的关系，代入即可求证直线l过定点．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，解得：a=2，c=，b2=a2﹣c2=1，椭圆C的标准方程；（2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，（**）①当m=﹣2时，代入（*）和（**）式得：，，．∴，又O到直线l的距离，∴．令，则t＞0，则当且仅当t=2，即时等号成立，且因此△OPQ面积最大时，直线l的方程为：y=±x﹣2，②证明：由已知，AP⊥AQ，且椭圆右顶点为A（2，0），∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=（1+k2）+（km﹣2）•+m2+4=0，整理得：5m2+16km+12k2=0，解得：m=﹣2k或m=﹣，均满足（*）式，∴当m=﹣2k时，直线l的方程为：y=kx﹣2k=k（x﹣2），过定点（2，0）与题意矛盾；当m=﹣时，直线l的方程为y=k﹣=k（x﹣），过定点，得证．20．已知函数，曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e 垂直．（1）求a的值及f（x）的极值；（2）是否存在区间，使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式x2f（x）＞k（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数的单调区间，得到函数的极值即可；（2）画出函数f（x）的图象，结合图象求出t的范围即可；（3）问题可化为，令，（x＞1），根据函数的单调性求出k的最大值即可．【解答】解：（1）由，得．因为f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e2x+e垂直，所以，解得a=1，所以，令，得x=1．因为当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；（2）因为f（x）在（1，+∞）上单调递减，且f（x）＞0又由（1）知f（x）在（0，1）上单调递增，且，f （1）=1＞0所以由零点存在原理得f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：因为函数f（x）在区间上存在极值和零点，所以由，解得．所以存在符合条件的区间，实数t的取值范围为；（3）当x∈（1，+∞）时，不等式x2f（x）＞k（x﹣1）可变形为设，（x＞1），则设φ（x）=x﹣lnx﹣2，（x＞1），则因为x＞1时，，所以φ（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上单调递增，又因为φ（3）=1﹣ln3＜0，φ（4）=2﹣ln4＞0所以存在唯一的x0∈（3，4），使得φ（x0）=0，即lnx0=x0﹣2，当x∈（1，x0）时，φ（x）＜0，即h'（x0）＜0，当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，即h'（x0）＞0，所以h（x）在（1，x0）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故，因为，且x0∈（3，4），所以整数k的最大值为3．2017年2月24日。