平面向量 综合测试题
一、选择题
1.已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交BC 于Q ，交AC 于P ，若1=AB ，2=AC ，则BC AP ⋅的值为（ ） A. 3 B.23 C.3D.23 2．已知向量a ＝(1,0)与向量b ＝(－1，3)，则向量a 与b 的夹角是( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
3. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC
→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0
C.PB →＋PC →＝0
D.P A →＋PB
→＋PC →＝0 4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n ＝( )
A ．－2
B ．2
C ．－12D.12
5．在ABC ∆中， D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =， 2BC =， 0GA GB GC ++=，则
AB CG =（ ） A. 3 B. 5 C. 2 D.
10
2 6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB
→在CD →方向上的投影为( )
A.322
B.3152 C ．－322D ．－3152
7. 已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是()
A ．[0，π6]
B ．[π3，π]
C ．[π3，2π3]
D ．[π6，π]
8. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值范围为( )
A ．[1,2]
B ．[2,4]C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2141， D.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡121， 9. 已知在ABC ∆中， O 是ABC ∆的垂心，点P 满足： 113222
OP OA OB OC =++，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比是（ ）
A. 23
B. 34
C. 35
D. 12
10．已知向量a ＝(x ＋1,1)，b ＝(1，y －2)，a ⊥b ，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13B.23C.12D ．1
11．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )
A ．2 B. 2 C ．1 D.22
12．设a ,b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是( )
A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b
B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b ＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb
D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
二、填空题
13．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝5 2，则|b |等于________．
14．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
15．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
16．已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是
三、计算题
17.（10分）已知1=OA ，3=OB ，向量OA ，OB 的夹角为2
π,点C 在AB 上，且6π=∠AOC .设()R n m nOB mOA OC ∈+=,，求n
m 的值.
18．（10分）设a ，b 是不共线的两个非零向量．
(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线．
(2)若AB
→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．
19．（10分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；
(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .
20．（10分）已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－
1)，AD 为BC 边上的高，求点D 的坐标与|AD →
|．
21．（10分）已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求
(1)a 与b 的夹角θ；
(2)(a －2b )·b .
22.（10分）已知a ＝( 3，－1)，b ＝12⎛ ⎝⎭，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t 的最小值．。