整式的乘除与因式分解培优练习一、逆用幂的运算性质4．已知：2,3==n m x x ，求n m x 23+、n m x 23-的值。

5．已知：a m =2，b n =32，则n m 1032+=________。

二、式子变形求值3．已知0132=+-x x ，求221x x +的值。

4．已知：()()212-=---y x x x ，则xy y x -+222= . 5．24(21)(21)(21)+++的结果为 .7．已知：20072008+=x a ，20082008+=x b ，20092008+=x c ， 求ac bc ab c b a ---++222的值。

8．若210,n n +-=则3222008_______.n n ++=9．已知：0106222=+++-y y x x ，则=x _________，=y _________。

10．已知0258622=+--+b a b a ，则代数式baa b -的值是_______________。

三、式子变形判断三角形的形状1．已知：a 、b 、c 是三角形的三边，且满足0222=---++ac bc ab c b a ，则该三角形的形状是_________________________.2．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足03222=-+-b c b c a b a ，则这个三角形是___________________。

3．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足关系式222222b ac ab c a -+=+，试判断△ABC 的形状。

四、简答题6．为促进节约用水和保障城市供水行业健康发展，某市将实施阶梯式计量水价．该市在五个区内选取了近10万户居民，进行阶梯式计量水价的“模拟操作”，对自来水用户按如下标准收费： 第一等级是每月每户用水不超过a 吨，水价是每吨m 元；第二等级是月用水量超过a 吨，但不超过30吨的部分，水价每吨2m 元； 第三等级是月用水量超过30吨，超过30吨的部分水价为每吨3m 元． 现有一居民本月用水x 吨，则应交水费多少元?7．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=21 [(a-b) 2+(b-c) 2+(c-a) 2]．该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你检验这个等式的正确性；(2)若a=2006，b=2008，c=2010，你能很快求出a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值吗?8. （4分）（1）阅读下列解答过程 （1） 问：求y 2+4y+8的最小值.（2）模仿（1）的解答过程，求m 2+m+4的最小值(3)求24127x x -+的最大值9、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。

如4=22-0，12=42-22，20=62-42 ，因此 4，12，20这三个数都是神秘数。

（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？（3）由（2）知，神秘数可表示成4（2k+1），因为2k+1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数。

另一方面，设两个连续奇数为2n+1，2n-1，则 即两个连续奇数的平方差是8的倍数， 因此两个连续奇数的平方差不是神秘数。

因式分解的方法一、用提公因式法把多项式进行因式分解1. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

2. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是5的倍数。

题型展示：例1. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯ 精析与解答：设2000=a ，则20011=+a∴⨯-⨯200020012001200120002000=+++-++=+⨯-+⨯=+⨯-=a a a a a a a a a a a a [()()]()()()()()()1000011110000110001110001110001100010说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。

其中2000、2001重复出现，又有200120001=+的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

例3. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。

解：1052+++x x x ()=+++=++52225()()()()x x x x xΘx x ++25，都是大于1的自然数 ∴++()()x x 25是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。

只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】1. 证明：812797913--能被45整除。

2. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值。

二、运用公式法进行因式分解1. 在几何题中的应用。

例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

2. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

题型展示： 例1. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，， 求证：a b c 5550++=例3. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。

解：Θx y x y x xy y 332227+=+-+=()()且x xy y 229-+=)1(92322=++=+∴y xy x y x ， 又x xy y 2292-+=()两式相减得xy =0 所以x y 229+=说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通。

用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

【实战模拟】3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。

5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abc a b c abc ≠++=03333，，试求 （1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b()()()111111+++++的值。

三、用分组分解法进行因式分解例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

例2. 在几何学中的应用已知三条线段长分别为a 、b 、c ，且满足a b a c b ac >+<+，2222例3. 在方程中的应用求方程x y xy -=的整数解题型展示：例1. 已知：a b c d ac bd 2222110+=+=+=，，且，求ab+cd 的值。

解：ab+cd=ab cd ⨯+⨯11=+++=+++=+++=+++=++ab c d cd a b abc abd cda cdb abc cdb abd cda bc ac bd ad bd ac ac bd bc ad ()()()()()()()()222222222222Θac bd +=∴=00原式说明：首先要充分利用已知条件a b c d 222211+=+=，中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。

例2. 分解因式：x x 323+-分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。

观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x x x -+-1233是的一个因式，因此变形的目的是凑x -1这个因式。

解一（拆项）：x x x x x 333233322+-=--+=-++--=-++3112113222()()()()()x x x x x x x x解二（添项）：x x x x x x x x x x x x x 332222232311313+-=-++-=-+-+=-++()()()()()说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1. 已知：x y z A x y z x y z x y x z A 2223330--=--=--，是一个关于的一次多项式，且,,()()，试求A 的表达式。

2. 证明：()()()()()a b ab a b ab a b +-+-+-=--22111222四、用十字相乘法把二次三项式分解因式例. 证明：若4x y -是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322x xy y +-是49的倍数。

中考点拨例1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。

题型展示例1. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ） A. 1B. -1C. ±1D. 2解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++--6可分解成()-⨯23或()-⨯32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3x-y 3 x-y 2由（1）可得：m =1，由（1）可得：m =-1 故选择C 。

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

例2. 已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足()()()a c b a c b -=--24。

求证：a b b c -=-证明：()()()Θa c b a c b -=--24()()()()()()∴----=∴-+-+-+=∴+-++=∴+-=∴+-=∴-=-a c b a c b a ac c bc ac ab b a c b a c b a c b a c b a b b c2222222402444404402020说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。