（3）确定系统最小阻尼比时的闭环极点。
阻尼比是二阶系统复数极点与副实轴夹角的余弦，即cos（β）=ζ，当cos（β）为最小值时，系统阻尼最小，此时β有最大值，即过坐标原点作该系统根轨迹圆的切线，切点对应的一对共轭复数就是系统最小阻尼比时的闭环
4、实验方法、步骤：
1)编程分别绘制控制系统的零极点图和和根轨迹图
6)偶极子及其处理。如果零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则她们就构成偶极子。原理原点的偶极子其影响可忽略，反之必须考虑。
7)主导极点。在S平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，成为主导极点。凡是比主导极点的实部打3-6倍以上的其他闭环零、极点，其影响课忽略
4、研究闭环零点、极点对系统性能的影响
2、实验主要仪器设备和材料：
计算机、MATLAB软件
3、实验内容和原理：
一、实验原理：
（1）根轨迹与稳定性
当系统开环增益从0→∞变化时若根轨迹不会越过虚轴进入S右半平面，那么系统对搜有的K值都是稳定的；若根轨迹越过虚轴进入S右半平面，那么根轨迹与虚轴交点处的K值就是临街开环增益。应用根轨迹法，可以迅速确定系统在某一开环增益或某一参数下的闭环零点、极点位置，从而得到相应的闭环传递函数。
[k,r]=rlocfind（num，den）
在做好的根轨迹图上，确定被选的闭环极点位置的增益值k和此时闭环极点r（向量）的值
在作出根轨迹图后，在执行该命令，命令窗口出现提示语“Selet a point in the graphis windows”，
此时将鼠标移至根轨迹图并选定位置，单击鼠标左键确定，出现“＋”标记，在MATLAB窗口上即可得到该点的根轨迹开环增益K值和对应的所有闭环根r（列向量）
（4）研究闭环零点、极点对系统性能的影响
范例4.3 已知一负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)=k(s+3)／s(s+2)
（1）绘制其根轨迹图，确定根轨迹分离点及相应增益K，临界增益K
（2）确定系统呈现欠阻尼状态的开环增益范围。
解：当系统呈现欠阻尼状态时，对应的闭环极点应该处于实轴上的两分离点之间的根轨迹上，从根轨迹图上可以测到欠阻尼状态时的开环增益范围为0.539<k<7.45
（3）根轨迹与系统性能的定性分析
1)稳定性。如果闭环极点全部位于S左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定性只与闭环极点的位置有关，而与闭环零点的位置无关
2)运动形状。如果闭环系统无零点，且闭环极点为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点则时间响应一定振荡的。
3)超调量。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率，并与其他闭环零极点接近坐标原点的程度有关。
在根轨迹的分离点（-0.423,0）处，对应于阻尼大于1，超调量为0，开环增益K=0.385，系统处于临界阻尼状态。
根轨迹于实轴相交时，闭环跟位于虚轴上，闭环极点是一对纯虚根（±j1.41），阻尼为0，超调量最大，系统处于无阻尼状态，其动态响应将出现等幅振荡。此时K=5.92，称谓临界增益K。
（3）根据控制系统的根轨迹分析控制系统的性能
根轨迹的条数及运动方向：根轨迹有3条，分别是从起点（0，0）（-1,0）和（-2,0）出发，随着K值从零到无穷大变化，趋于无穷远。
位于负实轴的根轨迹（-∞，-2）和（-1,0）区段，其对应的阻尼大于1，超调量为0，系统处于过阻尼状态，而且在远离虚轴的方向，增益K增大，震荡频率随之增大，系统衰减速率响应加大。
2)在根轨迹图上标注分离点和临街开环增益对应的点，显示相关的性能指标。
3)在根轨迹图上各区段取点，使用rlocfind（）命令分别在ζ=0,0.25,0.7,1,1.2处，得到相应的开环增益K和闭环极点r，由这两组参量写出系统闭环传递函数，分别绘制其对应系统的阶跃响应曲线，记录系Байду номын сангаас性能指标，并比较分析。将数据填入实验数据记录表格中
范例4.2 若已知系统开环传递函数G(s)H(s)=k/[s（s+1）（s+2）]绘制控制系统的根轨迹图，并分析根轨迹的一般规律。
解：参考程序如下：
k=1;z=[];p=[0 -1 -2];
[num,den]=zp2tf(z,p,k);
Rlocus(num,den),grid
运行后根轨迹图如下：
分析：一般规律
4)调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值，如果实数极点距虚轴最近并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。
5)实数零、极点影响。零点减小闭环系统的阻尼，从而使系统的峰值时间提前，超调量增大；极点增大闭环系统的阻尼，使系统的峰值延后超调量减小。而且这种影响将接近坐标原点的程度而加强
（2）二阶系统根轨迹的 一般规律
若闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而增大，但调节时间的变化不显著。若闭环极点为重叠的两个实数，系统为临界阻尼系统，单位跃阶相应为非周期过程，但是响应速度较过阻尼快。若所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位跃阶响应为非周期过程
范例4.1 已知系统的开环传递函数，绘制系统的零极点图如下：
G(s)H(s)=s²+5s+5／s（s+1）（s²+2s+2）
（2）绘制控制系统的根轨迹图并分析根轨迹的一般规律
MATLAB提供rlocus（）函数来绘制系统的根轨迹图，其调用格式为
rlocus（num，den） 直接在S复平面上绘制系统根轨迹图
黄淮学院电子科学与工程系
自动控制原理课程验证性实验报告
实验名称
用MATLAB进行系统根轨迹分析
实验时间
2012年12月06日
学生姓名
实验地点
070312
同组人员
专业班级
电技1001B
1、实验目的：
1、熟练掌握使用MATLAB绘制控制系统零极点图和根轨迹图的方法
2、学会分析控制系统根轨迹的一般规律
3、利用根轨迹图进行系统性能分析
二、实验内容
（1）绘制系统的零极点图
MATLAB提供pzmap（）函数来绘制系统的零极点分布图，其调用格式为pzmap（num，den）或[p,z]=pzmap(num,den)。直接在S复平面上绘制系统对应的零极点位置，极点用“×”表示，零点用○表示。极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占的比重越大；零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小。如果零极点重合则该极点所产生的模态为零，因为零极点相互抵消。