分段函数1.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=22. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-14【答案】B【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确.3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或5.若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。

由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。

【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。

6.已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_____。

[解析] 考查分段函数的单调性。

2212(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩7.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ),3()1,3(+∞⋃-B ),2()1,3(+∞⋃-C ),3()1,1(+∞⋃-D )3,1()3,(⋃--∞ 【答案】A【解析】由已知，函数先增后减再增 当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

当0<x ，3,36-==+x x故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。

以及一元二次不等式的求解 8.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数取函数()2xf x -=。

当K =12时，函数()K f x 的单调递增区间为【 C 】 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞ 解: 函数1()2()2xx f x -==，作图易知1()2f x K ≤=⇒(,1][1,)x ∈-∞-+∞U ， 故在(,1)-∞-上是单调递增的，选C.9.若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.【答案】[]3,1-【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|()|301133x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩.（2）由001|()|01111133333x xx x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.∴不等式1|()|3f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 10.设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域是（ ）A.(][)+∞-∞-,11,YB.(][)+∞-∞-,01,YC.[)+∞,0D. [)+∞,1C.答案:C.11.已知(3103(1)()log (1)xa a x a x f x x -+ ≤⎧⎪=⎨ >⎪⎩，是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是__________12.函数2225(0)()0(0)25(0)x x x f x x x x x ⎧-+ >⎪= = ⎨⎪--- <⎩的奇偶性是_______________13.若数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪- ≤<⎪⎩ ，且167a =，20a =________14.设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧- ≤⎪=⎨⎪ >⎩ ，若0()1f x >，则0x 的取值范围是_____________(-∞，-1)∪（1，+∞）15.函数22,0()(),0x x x f x g x x ⎧-≥=⎨ <⎩ 为奇函数，则()g x =_______________16.函数221,(01)()1,0)x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+ (<⎩ 的反函数是_______________17. 函数21,(1)()1,1)x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨ (>⎪⎩ 值域是______________18. 函数(0)()0(0)(0)x f x x x 1 >⎧⎪= =⎨⎪-1 <⎩,若2()(1)(1)g x x f x =--，且11()()(4)y g x y g x y g --===-的反函数为，则=_____________解析 12(4),()4(1)(1)4g a g a a f a --==---=-令则，有玩转函数第十招第10招：玩转分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。

分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法. 一、分段函数的定义域和值域分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x 的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

例1求函数4,23,0123,10x x y x x x x -+>⎧⎪=+<≤⎨⎪+-≤≤⎩的定义域和值域二、分段函数的求值在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式例1、（辽宁理）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________2、（2006山东）设1232(2),()(1)(2).log x x f x x e x-⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则[(2)]f f = A.0 B.1 C.2 D.3AD 3、 已知=)(x f ⎩⎨⎧ －log 3(x + 1)(x>6)3x －6(x ≤6)，若记)(1x f-为)(x f 的反函数，且),91(1-=fa 则=+)4(a f .4 、设222(1),()1(1).1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩ 则1[()]2f f = ( ） A.12 B.413 C.95- D.25415、 已知sin (0),()(1)1(0).x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩则1111()()66f f -+的值为 .三、分段函数的单调性例（2006北京理）、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)7四、分段函数的图象 1.作出函数()1y x x =+的图象2. 函数ln |1|xy ex =--的图象大致是 （ ）反2006卷）函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反年安徽函数是（ ）A．,020x x y x ⎧≥⎪=< B．2,00x x y x ≥⎧⎪=< C．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩六、分段函数的解析式1、在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y = 和)(x g y =的图象关于直线x y =对称. 现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再 沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两 条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的表达式）A ．22,10,()2,0 2.2x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩B ．22,10,()2,0 2.2x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩C ．22,12,()1,2 4.2x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩D ．26,12,()3,2 4.2x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩2、（2006年上海春卷）已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .3、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x>=-+时求f(x)的解析式.七、分段函数的最值(2005上海高考题)对定义域分别是,fgD D的函数(),()y f x y g x ==.规定：函数()(),,()(),(),f gf g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ⎧∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∈∉⎪⎩当且当且当且（I ）若函数21(),()1f xg x x x ==-，写出函数()h x 的解析式； （II ）求问题（I ）中函数()h x 的最大值； 八、分段函数的奇偶性 判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性九、与分段函数有关的不等式问题1、设函数2(1).(1)()41)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__________2已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________3、（山东理）设f(x)= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f(x)>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2） 4、 设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）A ．g (x)=sinxB ．g (x)=xC ．g (x)=x 2D ．g (x)=|x| 十、分段函数与方程的根1、.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足A.a<0B.0≤a<1C.a=1D.a>12、设定义为R 的函数lg 1,1,()0,0.x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） A. 0b <且0c > B. 0b >且0c < C. 0b <且0c = D. 0b ≥且0c = 3、设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)f x -=(7)f x +，且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，并证明你的结论.十二、开放性自义分段函数1. 定义在R 的任意函数()f x ，都可以表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，如果()lg(101)xf x =+，那么 （ ）A.()g x x =，()lg(10102)x x h x -=++ B. 1()[lg(1010]2x g x x =++，1()[lg(101)]2x h x x =+-C. (),()lg(101)22x x x g x h x ==+-D. (),()lg(101)22x x xg x h x =-=++.七、答案（I ）(23)(2)(1),()2(1).x x x h x x x -+-≥⎧=⎨-<⎩（II ）18九、1（答：(,2][0,10]-∞-U ）；2（答：3(,]2-∞）浅析复合函数的定义域问题一、复合函数的构成设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。