2017-2018学年河北省衡水市阜城中学高二（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q2．（5分）设命题p：函数f（x）=ln为奇函数；命题q：∃x0∈（0，2），x＞2，则下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∨（￢q）3．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）椭圆的一个焦点为F1，M为椭圆上一点，且|MF1|=2，N是线段MF1的中点，则|ON|（O为坐标原点）为（）A．3 B．2 C．4 D．86．（5分）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．2 B．4 C．1 D．7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y+3=08．（5分）已知点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是（）A．6 B．8 C．10 D．129．（5分）若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A．y2=﹣16x B．y2=﹣32x C．y2=16x D．y2=32x10．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作x轴的垂线，交椭圆于A，B两点．若等边△ABF1的周长为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，则椭圆方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=112．（5分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且P到两焦点的距离之差为2，则△PF1F2是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．钝角三角形二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设有两个命题，p：关于x的不等式a x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）若椭圆两焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是．15．（5分）已知圆C：（x+3）2+y2=4及点A（3，0），Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为．16．（5分）已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减，Q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（）上为增函数，“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，求实数c的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义在实数集R上的奇函数，且f（1）＞0．（Ⅰ）试求不等式的解集；（Ⅱ）当b＞0且b≠1时，设命题p：实数b满足，命题p：函数y=log b（x+1）在（0，+∞）上单调递减；若“p且q”为假命题，“p或p”为真命题，求实数b的取值范围．19．（12分）已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q 两点，求线段PQ的长．20．（12分）已知抛物线C的标准方程是y2=6x（Ⅰ）求它的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）直线l过已知抛物线C的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求线段AB的长度．21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，一个焦点的坐标为．（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线l交双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的方程．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py 的焦点为M．（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；（2）若直线MF与抛物线C交于A、B两点，求△OAB的面积．2017-2018学年河北省衡水市阜城中学高二（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q【解答】解：命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0，是真命题；命题q：若a2＜b2，则|a|＜|b|，是假命题，故p∧￢q是真命题，故选：B．2．（5分）设命题p：函数f（x）=ln为奇函数；命题q：∃x0∈（0，2），x＞2，则下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∨（￢q）【解答】解：命题p：函数f（x）=ln，x∈R，f（﹣x）+f（x）=ln+ln=ln1=0，因此函数f（x）为奇函数，为真命题；命题q：不存在x0∈（0，2），x＞2，因此是假命题．则下列命题为假命题的是（￢p）∧q．故选：C．3．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊊[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C5．（5分）椭圆的一个焦点为F1，M为椭圆上一点，且|MF1|=2，N是线段MF1的中点，则|ON|（O为坐标原点）为（）A．3 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵椭圆的实轴长为10，∴a=5，2a=10，由椭圆的定义得|MF2|=10﹣2=8，而ON是△MF1F2的中位线，∴|ON|=4．故选：C．6．（5分）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．2 B．4 C．1 D．【解答】解：椭圆中a=4，b=2，c=2，∵椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，∴AO=BO=OF=2，设A（x，y），则x2+y2=12，∵椭圆，联立消去x，化简可得|y|=，∴三角形△AF2B的面积是2××2×=4，故选：B．7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y+3=0【解答】解：设过点A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），由中点坐标公式可知：，则，两式相减得：+=0，∴=﹣，∴直线EF的斜率k==﹣，∴直线EF的方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），整理得：2y+x﹣3=0，故选A．8．（5分）已知点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由双曲线的知识可知：C1的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），且|PF1|﹣|PF2|=8而这两点正好是两圆（x+5）2+y2=1和（x﹣5）2+y2=1的圆心，两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的半径分别是r1=1，r2=1，∴|PQ|max=|PF1|+1，|PR|min=|PF2|﹣1，∴|PQ|﹣|PR|的最大值为：（|PF1|+1）﹣（|PF2|﹣1）=|PF1|﹣|PF2|+2=8+2=10，故选C9．（5分）若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A．y2=﹣16x B．y2=﹣32x C．y2=16x D．y2=32x【解答】解：∵点P到点（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，∴将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=﹣4，可得点P到直线x=﹣4的距离等于它到点（4，0）的距离．根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=﹣4为准线的抛物线．设抛物线方程为y2=2px，可得=4，得2p=16，∴抛物线的标准方程为y2=16x，即为P点的轨迹方程．故选：C10．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作x轴的垂线，交椭圆于A，B两点．若等边△ABF1的周长为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得等边△ABF1的边长为，则AB=，由椭圆的定义可得2a=AF1+AF2=+=2，即为a=，由F1F2=2c=×=2，即有c=1，则b==，则椭圆方程为+=1．故选：A．11．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，则椭圆方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，P是椭圆上的一点，∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a，∴a=2c．设椭圆方程为，则解得a=2，c=，b2=6．故椭圆的方程为+=1．故选A．12．（5分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且P到两焦点的距离之差为2，则△PF1F2是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．钝角三角形【解答】解：由椭圆，得a2=16，b2=12，∴c2=a2﹣b2=16﹣12=4，则F1（﹣2，0），F2（2，0），由椭圆的定义得：|PF1|+|PF2|=2a=8 ①，又P到两焦点的距离之差为2，不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2 ②，联立①②得：|PF1|=5，|PF2|=3，又|F1F2|=2c=4，∴，∴△PF1F2是直角三角形．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设有两个命题，p：关于x的不等式a x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是或a≥1．【解答】解：p：关于x的不等式a x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，a=0时不成立，a≠0时，则，解得．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假．∴，或，解得则实数a的取值范围是．故答案为：或a≥1．14．（5分）若椭圆两焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是．【解答】解：设P点坐标为（x，y），则，显然当|y|取最大时，三角形面积最大．因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，所以P点的坐标为（0，±3），所以b=3．∵a2=b2+c2，所以a=5∴椭圆方程为．故答案为15．（5分）已知圆C：（x+3）2+y2=4及点A（3，0），Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为．【解答】解：由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，得|MA|=|MQ|，圆的半径为2．所以||MC|﹣|MA||=2＜|AC|=6，故M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线．所以由题意得2a=2，2c=6．所以a=1，c=3，b2=c2﹣a2=8．焦点在x轴上，故所求方程为．故答案为．16．（5分）已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是1＜k＜2．【解答】解：∵方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴2k﹣1＞2﹣k＞0∴1＜k＜2．故答案为：1＜k＜2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减，Q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（）上为增函数，“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，求实数c的取值范围．【解答】解：∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．又∵“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，∴p真q假，或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|＜c＜1}．②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c≤}=∅．综上所述，实数c的取值范围是{c|＜c＜1}．18．（12分）已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义在实数集R上的奇函数，且f（1）＞0．（Ⅰ）试求不等式的解集；（Ⅱ）当b＞0且b≠1时，设命题p：实数b满足，命题p：函数y=log b（x+1）在（0，+∞）上单调递减；若“p且q”为假命题，“p或p”为真命题，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∴k﹣1=0，∴k=1，当k=1时f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），满足∵f（x）是定义在R上的奇函数，又∵f（1）＞0，∴，又a＞0故a＞1，…（3分）易知f（x）在R上单调递增，原不等式化为：，所以，即，解得x＜；∴不等式的解集为或．…（6分）（Ⅱ）若p为真，由（Ⅰ）得b＞或0＜b＜，若q为真，则0＜b＜1；…（8分）依题意得，p、p一真一假，（1）当p真q假，则；（2）当p假q真，则；综上，b的取值范围是．…（12分）19．（12分）已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q 两点，求线段PQ的长．【解答】解：（1）由已知得，椭圆C的焦点在x轴上．可设椭圆C的方程为，点是椭圆C短轴的一个顶点，可得，由题意可知c=2，则有，故椭圆C的标准方程为；（2）由已知得，直线l的方程为y=x+2，代入方程并整理，得14x2+36x﹣9=0．△=362+36×14＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，则=×=．20．（12分）已知抛物线C的标准方程是y2=6x（Ⅰ）求它的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）直线l过已知抛物线C的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求线段AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C的标准方程是y2=6x，∴抛物线C的焦点为F（，0），准线方程：．（Ⅱ）∵直线l过抛物线C的焦点F（，0），且倾斜角为45°，∴直线l的方程为y=x﹣，联立，得y2﹣6y﹣9=0，△=36+36=72＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=6，y1y2=﹣9，∴线段AB的长度|AB|==12．21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，一个焦点的坐标为．（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线l交双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵实轴长为2，一个焦点的坐标为，∴，得，，∴b2=c2﹣a2=2，∴双曲线C 的方程为．（2）设直线l 的方程为y=2x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得10x2+12mx+3（m2+2）=0，∴△=24（m2﹣10）＞0，得，∴弦长，解得，∴直线l 的方程为或．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py 的焦点为M．（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；（2）若直线MF与抛物线C交于A、B两点，求△OAB的面积．【解答】解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M，∴p=2，M（0，1）斜率不存在时，x=0，满足题意；斜率存在时，设方程为y=kx+1，代入y2=4x，可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，k=0时，x=，满足题意，方程为y=1；k≠0时，△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，∴k=1，方程为y=x+1，综上，直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1；（2）直线MF的方程为y=﹣x+1，代入y2=4x，可得y2+4y﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4，∴△OAB的面积S=|OF||y1﹣y2|==2．。