2013—2014学年度第二学期高二年级期中考试(理科)数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ）A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.15852．如图所示，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( )．A.2143 B.289 C.273D.8093.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为 A ．148B ．124C ．112D ．164．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是（ ） A ．[0.4,1) B ．(0,0.4] C ．(0,0.6]D ．[0.6,1)5..设(5n x -的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240，则展开式3x 的系数为（ ）A ．-150B ．150C ．-500D ．5006．下列正确的个数是（ ）(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。

(2) 如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变。

(3)一个样本的方差是s 2=120[(x 1一3)2+-(X 2—3) 2+…+( X n 一3) 2]，则这组数据的总和等于60.(4) 数据123,,,...,n a a a a 的方差为2σ，则数据1232,2,2,...,2n a a a a 的方差为24σ A . 4 B. 3 C .2 D . 17．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，若AEFS ∆＝6cm 2，则ADF S ∆为( )．A ．54 cm 2B ．24 cm 2C ．18 cm 2D ．12 cm 28. 设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )．A.29B.118C.13D.239. 如图所示，⊙O 的两条弦AD 和CB 相交于点E ，AC 和BD 的延长线相交于点P ，下面结论：①PA ²PC ＝PD ²PB ；②PC ²CA ＝PB ²BD ；③CE ²CD ＝BE ²BA ； ④PA ²CD ＝PD ²AB .其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．对于二项式(),11999x -有下列四个命题正确的是（ ）A.展开式中100099910001999T C x=. B.展开式中非常数项系数和是1.C.展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；D.当2000=x 时，()19991x -除以2000的余数是111. 如图所示，P 、Q 分别在BC 和AC 上，BP ∶CP ＝2∶5，CQ ∶QA ＝3∶4，则AR RP( )．A ．3∶14B ．14∶3C ．17∶3D ．17∶14 12．若一个三位正整数123a a a 满足123a a a <>，则称这样的三位数 为凸数， 则所有的三位凸数的个数是A.240B.204C.729D.920二、填空题（每题5分，共20分。

把答案填在题中横线上）13.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1的夹 角是14.已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是15.如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．16．已知 F 1 、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使得2231b S PF F =∆，则该椭圆的离心率的取值范围是 。

三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．(1) 求男生甲或女生乙被选中的概率(2)；设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (A |B )．18.（本题满分12分）如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,弧AE 等于弧AC,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,求PF 的长度.19.（本题12分）“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是158.得到了如下列联表：C(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析是否有百分之九十五以上的把握认为反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？ (Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附表20.（本题满分12分）如图,A 是以BC 为直径的⊙O 上一点,AD BC ⊥于点D ,过点B 作⊙O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P . (1)求证:BF EF =；(2) 若PB BC == 求PA 的长.21. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →|的值是多少？ 22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R)．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求tan θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R)的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，试说明理由．高二期中理科数学答案一选择题 BADBB ACDAD AB二、填空题 13.60014. a ≥e 15. 23＋ln2_ 16.)1,23[三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（以下评分标准仅供参A C PDOE F B 考）17. 解 (1)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝420＝15， ∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45. --------5分(2)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12， P (AB )＝C 14C 36＝15， ∴P (A |B )＝P AB P B ＝25.------------10分18. 解：连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧AE AC =弧可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P C ∠=∠+∠,从而PFD PCO ∠=∠,故PFD ∆ PCO ∆,∴PF PDPC PO=, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===. ----------12分19.解 (3)分由已知数据得：2230(10866) 1.158 3.84116141614χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ………6分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.282144(0),13C C P X === 116821448(1),91C C C P X===2621415(2),91C C P X === (9)分所以X 的数学期望为：448156012.1391917EX =⨯+⨯+⨯= ……………12分20. (1)证明：BC ∵是O 的直径，BE 是EB BC ⊥∴．又AD BC ⊥∵，AD ∴易证BFC DGC △∽△，FEC △∽△BF CF EF CFDG CG AG CG==∴，． BF EF DG AG=∴． G ∵是AD 的中点，DG AG =∴．BF EF =∴． ------------------6分 (2)证明：连结AO AB ，．BC ∵是圆O 的直径，90BAC ∠=∴°． 在Rt BAE △中，由（1），知F 是斜边BE 的中点，AF FB EF ==∴．FBA FAB ∠=∠∴．又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴． BE ∵是O 的切线，90EBO ∠=∴°．90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，PA ∴是O 的切线．所以236PA PB PC ===所以6PA = -----------12分 21. 解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为a ＝2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1. ----------4分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， Δ＝(2k )2－4³(k 2＋4)³(－3)＝16(k 2＋3)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. ----------6分由OA →⊥OB →，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.由－4k 2＋1k 2＋4＝0，得k ＝±12，此时OA →⊥OB →. ------------10分当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2x 2－x 12，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4³1217＝42³52172， 所以|AB →|＝46517. ----------12分22． [解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0， C P由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ²23＝0，即a ＝1. -----------2分(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23. ------------5分②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，0≤tan θ≤a23 当a >3时，0≤tan θ≤2a －3--------------8分 (3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R)的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点． -----12分。