所以 AC⊥AB。
如图建立空间直角坐标系 A xyz,则A(0,0,0), B(0, 2,0),C(1,0,0),
A1 (0,0, 2), B1 (0, 2, 2), C1 (1,0, 2). ……………………2 分 （I） A1B (0, 2, 2), B1C (1, 2, 2) ，
A1B B1C 0, A1B B1C. ………………6 分 （II）作 BD B1C ，垂足为 D，连结 A1D。
四边形 AEBF 面积的最大值．
2009—2010 学年度第 二学期期末考试
高二数学试题答案（理科）
一、选择题 :BBBAC CBBBA CA
二、填空题:13. 1
5
14.
2
8
三、解答题：
25
15.
4
16. (1, )
17、解:（I） f (x) 3 sin 2x 1 cos 2 x 1 = sin(2x ) 1 …………2 分
（3）设 A(2，0)，B(0，1) 是它的两个顶点，直线 y kx(k 0) 与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点．求
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猜的数字记为 b ，且 a,b {1, 2, 3, 4} 。若 | a b | 1 ，则称甲乙“心有灵犀”。现任意找两人玩这个 游戏，
则他们“心有灵犀”的概率为
。
15、已知圆 O： x 2 y 2 5 和点 A（1，2），则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积
等于
。
16 、 定 义 在 (0, ) 上 的 可 导 函 数 f (x) 满 足 ： x f (x) f (x) 且 f (1) 0 , 则 f (x) 0 的 解 集 为 x
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（2）假设当 n=k 时，
成立。……6 分
则当 n=k+1 时，有
1 3(k 1) 1
1 2 3k 4 3(k 1) ，……………………………………………………8 分
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衡水中学 2009—2010 学年度第二学期期末考试
高二年级数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在
答题卡上）
1、 已知复数 z 满足 (1 2i3)z 1 2i ，则 z 等于（ ）
A． 4
B． 1 4
C． 2
D． 1 2
11、衡水市 中考成绩大体上反映了全市学生的成 绩状况，因此可以把中考成绩作为总体，设平均成绩
480 ，标准差 100 ，总体服从正态分布，若衡水中学录取率为 40%，那么衡水中学录取分数线可
能划在（已知 (0.25)＝0.6） ( )
A．525 分
所以 AC⊥AB。 因为 ABC—A1B1C1 是直三棱柱，面 ABB1A1⊥面 ABC， 所以 AC⊥面 ABB1A1。………………3 分
由 AA1 AB 2 ，知侧面 ABB1A1 是正方形，连结 AB1，
所以 A1B⊥AB1。 由三垂线定理得 A1B⊥B1C。 ………………6 分 （II）作 BD⊥B1C，垂足为 D，连结 A1D。 由（I）知，A1B⊥B1C，则 B1C⊥面 A1BD， 于是 B1C⊥A1D， 则∠A1DB 为二面角 A1—B1C—B 的平面角。 ………………8 分
要求在 0.9 以上，则该班学生中能报 A 专业的人数为（ ）
A．10
B．20
C．8
D．16
（9 题图）
10、设函数 f (x) g(x) x2 ，曲线 y g (x) 在点 (1, g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f (x)
在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为( )
。
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三 、解答题（本大题共 6 个小题，共７ ０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17、本小题满分 10 分)
已知函数 f x 3 sin 2x cos2 x 1 , x R.
2
21、 (本小题满分 12 分)
已知函数 f (x ) x 4 4 x 3 4x 2 a (a R ) 3
（1）求函数 f (x ) 的极大值；
（2）当 a 0 时，求函数 f (x ) 的值域； （3）已知 g (x ) 2 x 3 ax 2 1 ，当 a 1时， f (x ) g (x ) 0 恒成立，求 x 的取值范围。
3
22、(本小题满分 12 分)
设 F1、 F2 分别是椭圆
x2 4
y2
1 的左、右焦点.
（1）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 PF1 PF2 的取值范围;
（2）设过定点 Q(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，且∠ MON 为锐角（其中 O 为坐标原点），求
直线 l 的斜率 k 的取值范围.
A1D
BD
A1B1 A1C B1C
6 5
,
又A1 B
2,
cos A1DB
A1D 2 BD 2 A1B 2 2 A1D BD
2, 3
A1
DA
arccos(
2 3
),
故二面角 A1—B1C—B 的大小为 arccos( 2). ………………12 分 3
解法二：
由 AC=1，AB= 2 ，BC= 3 知 AC2+AB2=BC2，
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20、 (本小题满分 12 分)
某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 2 种服装商品, 2 种家电商品, 3 种 日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的 3 种商品中至多有一种是家电商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 x 元,同时,若 顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 40 元的奖券.假设顾客每次 抽奖时获奖的概率都是 1 ,若使促销方案对商场有利，则 x 最少为多少元？
向量 m 1,sin A 与向量 n 2,sin B 共线
1 sin A ， 2 sin B
……………………………………………………8 分
由正弦定理得， a 1
①
b2
由余弦定理得， c2 a2 b2 2ab cos ，即 3= a2 b2 ab
②
3
由①②解得 a 1,b 2 .
……………………………………………………10 分
18、解 当 n=1 时， 1 1 1 a ， 1 1 1 2 1 3 24
即 26
a
，
∴a<26，又
a∈
N
，∴取
a=25，下面用数学归纳法证
明： [
24 24
。……………………………………………………2 分
（1）当 n=1 时，已证。……………………………………………………4 分
n1 n 2
3n 1 24
法证明你的结论。
19、 (本小题满分 12 分)
如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AC=1，AB= 2 ，BC= 3 ，AA1= 2 。
（I）求证：A1B⊥B1C； （II）求二面角 A1—B1C—B 的大小。
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B．515 分
C．505 分
12、矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，沿对角线 BD2将△ABD 折起，使 A 点在平面 BCD 内的射影落在 BC 边上，若二面角 C—AB—D 的平面角大
小为 ，则 sin 的值等（ ）
D．495 分
A． 3 4
B． 7 4
C． 3 7 7
D． 4 5
第Ⅱ卷（主观题 共 90 分）
log2010 x1 log2010 x2 log2010 x2009 的值为 (
)
A. log2010 2009 B. 1
C. (log2010 2009) 1 D. 1
8、在 y 2x2 上有一点 P ，它到 A(1, 3) 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P 的坐标是（ ）
A.（－2，1）
A. 3 4 i 55
B. 3 4 i 55
C. 3 4 i 55
D. 3 4 i 55
2、从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数
为(
)
A.100
B.110
C.120
D.180
3、数列{an} 对任意 n N 满足 an+ 1 = an + a2 ，2且 a3 = 6 ，则 a10 等于(
)
A.24
B. 27
C. 30
D. 32
4、 3 x 1 n 的展开式中只有第 5 项的二 项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
x
A．28
B． 28
C．70
D． 70
5、已知函数 y f (x) 的图象在点 M (1，f (1)) 处的切线方程是 y 1 x 2 ，则 f (1) f (1) ( ) 2