2011—2012学年度第二学期高二年级期末考试高二年级(理科)数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知=+=-=211121,,,1,3Z Z i Z Z i Z i Z 则为虚数单位的共轭复数是 （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +2 D ．i -2 2.若0m >，则||x a m -<和||y a m -<是||2x y m -<的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分有必要条件 3.=+-⎰-dx x x )1(112 （ ）A ．π B.2πC.1+πD.1-π 4. 在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π6)作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．2 2 D ．2 3 5.222,,sin ,xa xdxb e dxc xdx ===⎰⎰⎰则a b c 、、大小关系是（ ）A a c b <<B a b c <<C c b a << 6 .如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE,BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于C 、D ，若∠AEB=030,则∠PCE 等于( ) A 0150 B 075 C 0105 D 0607.关于x 的不等式22|cos lg(1)||cos ||lg(1)|x x x x +-<+-的解集为 （ ）A.（-1,1）B.(,1)(1,)22ππ--⋃C.(,)22ππ-D.(0,1)8..直线1123332x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)和圆2216x y +=交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3) 9.如图所示，AB 是圆O 的直径，直线MN 切圆O 于C ，CD ⊥AB ，AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，则下列结论中正确的个数是( ) ①∠1＝∠2＝∠3 ②AM ·CN ＝CM ·BN ③CM ＝CD ＝CN ④△ACM ∽△ABC ∽△CBN ．A ． 4B ．3C ．2D ． 1 10.已知非零向量,a b 满足：2=||||a b ，若函数PE B ADC 第6题3211()32f x x x x =++⋅||a a b 在R 上有极值，设向量,a b 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为（ ） A ．[1[,1]2B ．1(,1]2C ．1[1,]2-D ．1[1,)2-11.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A ．V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B ． 2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 412.若实数,,x y z 满足2221x y z ++=则xy yz zx ++的取值范围是 （ ） A.[-1,1] B.[1,1]2- C.[-1，1]2 D.11[,]22-二、填空题（每题5分，共20分。
把答案填在题中横线上）13. 以Rt ABC ∆的直角边AB 为直径作圆O ，圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若3BC =，4AB =，则OE =_________ 14.已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2πρθ=-+，2cos()104πρθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为15.设22,,a x xy y b p xy c x y =-+==+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .16．在求某些函数的导数时，可以先在解析式两边取对数，再求导数，这比用一般方法求导数更为简单，如求xe xy=的导数，可先在两边取对数，得x e x y x e xln ln ln ==，再在两边分别对x 求导数，得x e x e y y x x 1ln 1'⋅+=⋅即为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=x e x e y y x x x 1ln ',即导数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x e x e x y x xe x ln 。
若根据上面提供的方法计算函数x x y =的导数，则='y三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围。
18. （本题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23(24x tt y t=--⎧⎨=-⎩为参数） 它与曲线C ：221x -=（y-2)交于A 、B 两点。
（1）求|AB|的长（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为3(22,)4π，求点P 到线段AB 中点M 的距离。
19. （本题满分12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出)2(f ，)3(f )4(f )5(f 并猜测)(n f 的表达式；(2)求证：1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －123<．20.（本题满分10分） 如图, ABC ∆内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径, PA 是过点A 的直线, 且ABC PAC ∠=∠. (Ⅰ) 求证 PA 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果弦CD 交AB 于点E , 8=AC ,5:6:=ED CE , 3:2:=EB AE , 求BCE ∠sin .21.（本题满分14分）某园林公司计划在一块O 为圆心,R (R 为常数，单位为米)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC 区域用于观赏样板地，OCD ∆区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成．本．是每平方米2元，花木的利润．．是每平方米8元，草皮的利润．．是每平方米3元.（1）设(COD θ∠=单位：弧度）, 用θ表示弓形CMDC 的面积()S f θ=弓;（2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的θ (参考公式扇形面积公式21122S R Rl θ==，l 表示扇形的弧长)22.（本题满分14分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.ODCB. A B CO E D P高二年级(理科) 期末数学答案一、选择题：DABCD CADBD CB 二、填空题13．5214．21+ 15．（1,3） 16．)ln 1(x x x + 三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）解：∵ a ＞0,b ＞0 且a+b=1 ∴ 1a +4b =(a+b)( 1a +4b)=5+b a +4ab≥9,故1a+4b的最小值为9，------------------------5分因为对a,b ∈(0，+∞),使1a +4b≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9, -7分当 x ≤-1时，2-x ≤9, ∴ -7≤x ≤-1, 当 -1＜x ＜12时，-3x ≤9, ∴ -1＜x ＜12,当 x ≥12时,x-2≤9， ∴ 12≤x ≤11,∴ -7≤x ≤11 ------------- 10分18. 解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得051272=--t t设A ，B 对应的参数分别为21,t t ，则 75,7122121-==+t t t t ． ……3分所以771104)(5)4()3(212212122=-+=--+-=t t t t t t AB ． ……5分(Ⅱ)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为76221=+t t ． ……8分 所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为73076)4()3(22=⋅-+-=PM ． ……10分20. 解： (1)∵ f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，∴ f (5)＝25＋4×4＝41.∵ f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴ f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，f (n －1)－f (n －2)＝4·(n －2)，f (n －2)－f (n －3)＝4·(n －3)，… f (2)－f (1)＝4×1，∴ f (n )－f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＝2(n －1)·n ，∴ f (n )＝2n 2－2n ＋1(n ≥2)，又n ＝1时，f (1)也适合f (n )．∴ f (n )＝2n 2－2n ＋1. --------6分(2)当n ≥2时，1f n －1＝12n 2－2n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，∴ 1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n . ---------------12分20. （Ⅰ）证明：AB 为直径，,2π=∠∴ACB2π=∠+∠ABC CAB 2π=∠+∠∴∠=∠CAB PAC ABC PAC ΘAB AB PA ,⊥∴为直径，PA ∴为圆的切线…………………… 3分（Ⅱ）m EB m AE k ED k CE 3,2,,5,6==== k m ED CE EB AE 5=⇒⋅=⋅ΘAEC ∆Θ∽DEB ∆54638=⇒=⇒BD kmBDCEB ∆Θ∽AED ∆552,2)3(8025642522222==⇒=--=⇒k m m k m m AD BC ,10=∴AB 54=BD 在直角三角形ADB 中5521054sin ===∠AB BD BAD BAD BCE ∠=∠Θ552sin =∠∴BCE …………………… 10分21 【解析】（1）212S R θ=扇，21sin 2OCD S R θ∆=, 21()(sin )2S f R θθθ==-弓.………3分(2)设总利润为y 元，草皮利润为1y 元，花木地利润为2y ，观赏样板地成本为3y221113()22y R R πθ=-，221sin 82y R θ=⋅，231(sin )22y R θθ=-⋅,222212311113()sin 8(sin )22222y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+⋅--⋅ .21[3(510sin )]2R πθθ=--……8分设()510sin g θθθ=- (0,)θπ∈. '()510cos g θθ=- ，'1()0,cos ,()2g g πθθθθ<>∈在（0, ）3上为减函数；'1()0,cos ,()2g g πθθθθπ><∈在（，）3上为增函数当3πθ=时，()g θ取到最小值,此时总利润最大.答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3π时，总利润最大. ………14分 M ODC.ABCOEDP22.解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ---------2分 （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. ---------3分（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >.①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞.②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a 上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a.③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a.---------9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有maxmax ()()f x g x <.---------10分由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-.---------14分。