习 题
[9-2] 长m 5的10号工字钢，在温度为C 00时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。

已知钢的线膨胀系数107)(10125--⨯=C l α，GPa E 210=。

试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性？
解：
A
l EI A F E N 2
min
2)5.0(πεσ==
= 2
min
24Al EI A F E N πεσ===
2
min 24Al
I πε=
查型钢表得10号工字钢面积、惯性矩分别为：
242103.143.14m cm A -⨯==；484min 103333m cm I I y -⨯===。

于是：
故，当温度升高至C 02.29时，杆将丧失稳定性。

[9-5] 图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。

力F 与AB 杆轴线间的夹角为θ，且2
0π
θ<
<。

若由于杆件在纸平面ABC 内失稳而引
起毁坏，试确定荷载F 为最大时的θ角及最大临界荷载。

图
习题⋅-59解：（1）求θ
要使设计合理，必使AB 杆与BC θπcos 2
2
,F l EI
F AB
AB cr ==
θπsin 2
2,F l EI
F BC
BC cr ==
02260cot (tan cos sin ===BC
AB l l F F θθθ
'00022618435.18)60arctan(cot ===θ （2）求最大临界荷载max F
由θπcos 2
2,F l EI
F AB
AB cr ==
得：
2
20
2022
216
.41572
.41435.18cos )60cos (cos l EI
l EI l EI
l EI
F AB ≈==
=
πθ
π 或由θπsin 2
2,F l EI
F BC
BC cr ==
得：
2
20
2022
226
.41578
.41435.18sin )60sin (cos l EI
l EI l EI
l EI
F BC ≈==
=
πθ
π 故，2max 6
.41l
EI
F ≈ [9-9] 两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为mm mm 150150⨯的正方形，长度m l 5.3=，强度许用应力MPa 10][=σ。

试求木柱的许可荷载。

解：1=μ， )(3.433
2150321224
mm a a a A
I i i z
y z =====
=。

9183.804
.433500
1≤=⨯=
=
i
l
μλ （教材第318页） 木制压杆的稳定因素：393.0)
65
83.80(11
)65
(
112
2
≈+=+=
λ
ϕ
压杆的稳定条件为：
][σϕ≤A
F
)(4.88)(88425150/10393.0][222kN N mm mm N A F ≈=⨯⨯=≤σϕ
[9-12] 某桁架的受压弦杆长4m ，由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，
MPa 170][=σ。

若按两端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。

解：由型钢表查得∟
角钢：
图
习题⋅-179A
M
)
(a
得
查教材第320页表9-3得：
故
[9-17] 弯曲刚度为EI 的刚架ABCD ，在刚结点B 、C 分别承受铅垂荷载F ，如图所示。

设刚架直至失稳前始终处一线弹性范围，试求刚架的临界荷载。

解：考虑AB 段在微弯情况下保持平衡的情形[如图（a ）所示]。

图中δcr F M =0。

AB 杆的弯矩方程为：y F M y F x M cr cr =+--=0)()(δ 挠曲线近似微分方程为：y F x M EIy cr -=-=)("
0"=+
y EI
F y cr
令EI
F k cr
=
2得： 02"=+y k y
该方程的通解为：kx B kx A y cos sin += 一阶导数为： kx Bk kx Ak y sin cos '-=
边界条件：0=x ，0=y ，代入上式得： 0cos 0sin 0B A +=，0=B
l x =，δ=y ，代入上式得：kl kl A cos 0sin ⨯+=δ，kl
A sin δ
=
所以，AB 杆的挠曲线方程为：kx kl
y sin sin ⋅=
δ
AB 杆的转角方程为： kx k kl
y cos sin '⋅=
δ
AB 杆在B 截面的转角：kl k kl k kl
l y BA cot cos sin )('δδ
θ=⋅=
=
由图（b ）可知，BC 杆可看作两端作用着0M 的简支梁（支反力为零）。

查附录IV 表，BC 杆在B 截面的转角为：
EI
l
F EI l M EI l M EI l M M M cr C BC B BC BC 6663)()(000⋅==-=
+=δθθθ 由于B 是刚性结点，所以BC BA θθ=。

即：
EI l F kl k cr 6cot ⋅=
δδ 因为EI
F k cr
=
2，所以 6
6cot 22l
k EI l EI k kl k ⋅=⋅⋅=δδδ
6
cot kl kl =
构造一个函数6cos kl kl y -
=，然后在Excel 上用试错法求kl ，方程6
cot kl kl =的解是35.13449.1≈=kl 。

试错的情况见下表。

由EI F k cr =
2得：222235.1)35.1(l
EI
EI l EI k F cr ===。