第九章 压杆稳定 习题解[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式22lEIP cr π=。

试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。

解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。

因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是)("x M EIw -=。

（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。

临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。

因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：22lEIP cr π=。

[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）解：压杆能承受的临界压力为：22).(l EIP cr μπ=。

由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长度系数。

（a ）m l 551=⨯=μ （b ）m l 9.477.0=⨯=μ （c ）m l 5.495.0=⨯=μ （d ）m l 422=⨯=μ （e ）m l 881=⨯=μ（f ）m l 5.357.0=⨯=μ（下段）；m l 5.255.0=⨯=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。

[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。

试问两杆的临界力是否均为2min2).2(l EI P cr π=为什么并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。

螺旋千斤顶（图c ）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆是否偏于安全解：临界力与压杆两端的支承情况有关。

因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。

(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2=μ，其临界力为：2min2).2(l EI P cr π=。

但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素2≠μ，因此，不能用2min2).2(l EI P cr π=来计算临界力。

为了考察（a ）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B ）的转动刚度lEIMC 20==ϕ，且无侧向位移，则：)()("w F x M EIw cr -=-=δ令2k EIF cr=，得： δ22"k w k w =+ 微分方程的通解为：δ++=kx B kx A w cos sin kx Bk kx Ak w sin cos '-= 由边界条件：0=x ，0=w ，CF C M w cr δϕ==='；l x =，δ=w 解得： Ck F A cr δ=，δ-=B ，δδδδ+-=kl kl CkF cr cos sin 整理后得到稳定方程：20/tan ==lEI Ckl kl 用试算法得： 496.1=kl故得到压杆的临界力：222)1.2()496.1(l EIl EI F cr π==。

因此，长度因素μ可以大于2。

这与弹性支座的转动刚度C 有关，C 越小，则μ值越大。

当0→C 时，∞→μ。

螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。

它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。

当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。

因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。

这种情况，2>μ，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆”算出来的临界力要小。

譬如，设转动刚度lEIMC 20==ϕ，则： 1025.121.222==弹簧固端cr cr P P ，弹簧固端,1025.1cr cr P P =。

因此，校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。

[习题9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为EI ，长度为l 的等截面中心受压直杆的临界应力cr P 的欧拉公式。

[解]：设压杆向右弯曲。

压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为cr P ，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用e M 表示，下标e 表示端部end 的意思。

若取下截离体为研究对象，则e M 的转向为逆转。

e cr M x v P x M -=)()()()("x v P M x M EIv cr e -=-= e cr M x v P EIv =+)("EI M x v EI P v e cr =+)("，令EI P k cr =2，则 EIP k cr 12=creP M k v k v 22"=+ 上述微分方程的通解为：creP M kx B kx A v ++=cos sin …………………………….(a) kx Bk kx Ak v sin cos '-=边界条件：① 0=x ；0=v ： cr e P M B A ++=0cos 0sin 0；cre P MB -=。

② 0=x 0'=v ：0sin 0cos 0Bk Ak -=；0=A 。

把A 、B 的值代入（a ）得： )cos 1(kx P M v cr e -= kx k P Mv cre sin '⋅=边界条件：③ L x =；0=v ：)cos 1(0kL P M cre-=， 0cos 1=-kL ④ 0=x 0'=v ：kL k P M cresin 0⋅=0sin =kL 以上两式均要求：πn kL 2=，,......)3,1,0(=n其最小解是：π2=kL ，或L k π2=。

故有：EI P L k cr ==222)5.0(π，因此： 22)5.0(L EIP cr π=。

[习题9-5] 长m 5的10号工字钢，在温度为C 00时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。

已知钢的线膨胀系数107)(10125--⨯=C l α，GPa E 210=。

试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性 解：[习题9-6] 两根直径为d 的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。

试根据杆端的约束条件，分析在总压力F 作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F 之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力cr P 的算式。

解：在总压力F 作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a ）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：（b ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。

（c ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时cr P 最小：243128l Ed P cr π=。

[习题9-7] 图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成，在B 点铰支，而在A 点和C 点固定，D 为铰接点，π10=dl。

若结构由于杆件在平面ABCD 内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值。

解：杆DB 为两端铰支，杆DA 及DC 为一端铰支一端固定，选取 。

此结构为超静定结构，当杆DB 失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力，故2024.36l EI =[习题9-8] 图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。

若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起毁坏，试确定荷载F 为最大时的θ角（假设20πθ<<）。

解：要使设计合理，必使AB 杆与BC 杆同时失稳，即：θπcos 22,F l EIP ABAB cr ==θπsin 22,F l EIP BCBC cr ==βθθθ22cot )(tan cos sin ===BCAB l l F F)arctan(cot 2βθ=[习题9-9] 下端固定、上端铰支、长m l 4=的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。

已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力MPa 170][=σ，试求压杆的许可荷载。

解：查型钢表得：m[习题9-10] 如果杆分别由下列材料制成：（1）比例极限MPa P 220=σ，弹性模量GPa E 190=的钢； （2）MPa P 490=σ，GPa E 215=，含镍%的镍钢； （3）MPa P 20=σ，GPa E 11=的松木。

试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。

解：（1）（2）（3）[习题9-11] 两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm ×150mm 的正方形，长度m l 5.3= ，强度许用应力MPa 10][=σ。

试求木柱的许可荷载。

解：由公式（9-12a ）：[习题9-12] 图示结构由钢曲杆AB 和强度等级为TC13的木杆BC 组成。

已知结构所有的连接均为铰连接，在B 点处承受竖直荷载kN F 3.1=，木材的强度许用应力MPa 10][=σ。

试校核BC 杆的稳定性。

解：把BC 杆切断，代之以轴力N ，则0=∑AM01sin 1cos 13.1=⨯-⨯-⨯C N C NCC N cos sin 3.1+=8.05.122sin 22=+=C6.05.125.1cos 22=+=C)(929.06.08.03.1kN N =+=)(213333404012112433mm bh I =⨯⨯==)(547.114040213333mm AI i =⨯==915.216547.11105.213>=⨯⨯==i lμλ由公式（9—12b ）得：0597.05.2162800280022===λϕ MPa st 597.0100597.0][][=⨯==σϕσMPa mmN A N 581.040409292=⨯==σ 因为st ][σσ<，所以压杆BC 稳定。

A[习题9-13] 一支柱由4根mm mm mm 68080⨯⨯的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。