上述三种迭代法都收敛. 是 A 的特征值, 故当 0 < θ < 可得 0 < θ <
2 . λn 1 √ 2 2 时, λn
有|1 − θλi | < 1, 从而迭代收敛. 反之, 若迭代收敛, 则 |1 − θλi | < 1,
2.11 当 |a| <
时, 迭代格式收敛. −8x1 + x2 + x3 = −7 2.12 提示: 将原方程组调整为: 上述方程组的系数矩阵是严格对角占优的, x1 − 5x2 + x3 = 14 x1 + x2 − 4x3 = −13
sin2 1◦ , 1+cos 1◦
1.10 提示: (1) sin(x + y ) − sin x = 2 sin y cos(x + y ), (2) 1 − cos 1◦ = 2 2 √ √ = − ln( 1010 + 1 + 105 ). ln( 1010 + 1 − 105 ) = ln √ 10 1 5
10 +1+10
1.11 (1) (A) 比较准确; (2) (A) 比较准确. 1.12 算法 2 准确. 在算法 1 中, ε0 ≈ 0.2231 带有误差 0.5 × 10−4 , 而这个误差在以后的每次计算中 顺次以 41 , 42 , · · · 传播到 In 中. 而算法 2 中的误差是按
1 4 11 33 11 22 1 22 2 4

0.374 ± 0.868i, ρ(BJ ) = 0.945 < 1, 0 0 −1 BS = (D − L) U = 0 0 0 0
迭代法收敛. (2) 将原方程组的系数矩阵调整为上述矩阵后, 写出迭代矩阵: BJ ∥BJ ∥∞ < 1, 故迭代法收敛.
a > 1, a(a − 14) + 12 > 0,
2
(k+1) (k ) (k+1) 2 (k ) 2 (k ) 2 (k ) 7 x1 x2 − 2 x +7 , x x2 − 9 x3 + 9 , = −9 = −9 9 3 9 1 (k ) (k ) (k+1) (k) (k+1) (k+1) 4 2 4 2 2 2 2.9 Jacobi: x2 x2 − 5 x3 − 5 = − 5 x1 − 5 x3 − 5 , Gauss-Seidel: = − 5 x1 , (k+1) (k+1) (k ) 2 (k ) 2 2 (k+1) 4 (k+1) 2 x3 x1 − 4 x . x x x . = −5 − = − − − 3 5 2 5 5 1 5 2 5 (k+1) (k ) (k ) (k ) 2 (k ) − x1 − 2 x −9 x3 ), = x1 + 1.32( 7 x1 9 9 2 (k+1) (k ) (k+1) (k ) (k ) SOR 迭代 (ω = 1.32): x2 −2 x − x2 − 4 x ), = x2 + 1.32(− 2 5 5 1 5 3 (k+1) (k+1) (k+1) (k) (k ) −2 x x x3 = x3 + 1.32(− 2 −4 − x3 ). 5 5 1 5 2 2.10 提示: x(k+1) = (I − θA)x(k) + θb, 故迭代矩阵 B = I − θA 的特征值为 1 − θλi , 其中 λi > 0
《现代数值计算方法（MATLAB版） 》
习题参考答案及部分习题解答提示 第一章
1.1 (1) 0.5, 0.00217%, 5; (2) 0.5×10−5 , 0.217%, 3; (3) 0.5×10−2 , 0.000217%, 6; (4) 0.5×102 , 0.0217%, 3. 1.2 (1) 0.5, 0.014%, 4; (2) 0.5×10−4 , 0.11%, 3; (3) 0.5×10−3 , 0.0017%, 5; (4) 0.5×10−9 , 0.017%, 4. 1.3 (1) 3.146, 0.5×10−4 ; (2) 3.1416, 0.5×10−4 ; (3) 3.14159. 1.4 提示:
∥A
−1
2.5 提示: 因系数矩阵 A 是严格对角占优的, 故 Jacobi 迭代法, Gauss-Seidel 迭代法以及 SOR 迭代 法在 0 < ω < 2 时, 都是收敛的.
2.6 提示: (1) BJ = −1 −2 0
−2 0 −2
λ −1 , |λI − BJ |= 1 0 2 0 −2 2 0 1 0 0 2 2 λ 2
1 4n
减少的, 是稳定的计算公式.
第二章
2.1 提示: 因 B 奇异, 故 ∃x ̸= 0, 使得 Bx = 0. 于是, Ax = (A − B )x,x = A−1 (A − B )x,∥x∥ ≤
1 . ∥∥A − B ∥∥x∥, 1 ≤ ∥A−1 ∥ · ∥A − B ∥,即∥A−1 ∥ ≥ ∥A− B∥ √ √ 2.2 ∥x∥1 = 9, ∥x∥2 = 29, ∥x∥∞ = 4; ∥A∥1 = 8, ∥A∥2 = 4 2, ∥A∥∞ = 6. 0 −0.4 −0.4 λ 0.4 0.4 2 2.3 提示: 迭代矩阵 BJ = −0.4 0 −0.8 , |λI − BJ |= 0.4 λ 0.8 =(λ − 0.8)(λ + −0.4 −0.8 0 0.4 0.8 λ √ √ 0.8λ − 0.32) = 0, λ1 = 0.8, λ2,3 = 0.4(−1 ± 3). 因 |λ3 | = 0.4(1 + 3) > 1, 故用 Jacobi 迭代法不收敛. −1 1 0 0 0 −2 2 1 0 0 0 −2 2 2.4 提示: Bs = 1 1 0 0 0 −1 = −1 1 0 0 0 −1 = 2 2 1 0 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 −2 2 0 2 −3 . 谱半径 ρ(Bs ) = max |λi | = 2 > 1, 故用 Gauss-Seidel 迭代法不收敛. 0 0 2
1 2(a1 +1)
× 10−(n−1) = 10−4 ⇒ n = 5 − lg 2 − lg(a1 + 1) ⇒ 4 − lg 2 ≤ n ≤ 5 − 2 lg 2 ⇒ × 10−2 ≤ 0.5 × 10−2 . + 1) ⇒ 3 − lg 6 ≤ n ≤ 3 − lg 1.2 ⇒ √ 783 = (3)
. 因为
0
5 − 33
0
第三章
3.1 (1) x = (0, −1, 1)T ;
(i)
(2) x = (1.2, 2, −1.4).
3.2
1 3 n 3
+ n2 − 1 n. 3
3.3 提示: 必要性. 设 aii ̸= 0, i = 1, 2, · · · , k , 则可进行消去法的 k − 1 步. 每步 A(m) 由 A 逐次实 施 (−lij Ej + Ei ) → (Ei ) 的运算得到, 这些运算不改变相应顺序主子式之值, 所以有, a11 ∆m =
−1 2
0 0
−1

0 0 0
−1 = 0
1 2
−1 2

−1 2 0
1 , 其特征 −2 1 −2
1 0 1
故 ρ(Bs ) = < 1, 从而 Gauss-Seidel 迭代收敛. −1 √ 2 5 5 −2 , |λI − BJ | = λ(λ + 4 ) = 0,λ1 = 0, λ2,3 = ± 2 i, ρ(BJ ) = 0 a 1 a 2 3
3.699 ≤ n ≤ 4.3976 ⇒ n = 3. 1.5 |εr (x)| ≤ 1.6 提示: 1.7 提示:
1 2a1 1 × 10−(n−1) < 10−3 ⇒ n > 4 − 2 lg 2 ⇒ n = 4. 2×2 1 × 10−(n−1) = 3 × 10−3 ⇒ n = 4 − lg 6 − lg(a1 2(a1 +1) 56+ 562 −4 2
2.2218 ≤ n ≤ 2.9208 ⇒ n √ = 2. 1.8 提示: x1,2 =
282 − √781 28+ 783
= 28 ±
√
783, x1 = 28 + 27.982 = 55.982 ≈ 55.98, x2 = 28 −
1−cos2 1◦ 1+cos 1◦
=
1 55.982
≈ 0.01786. =
√
5 2
> 1, 故

2.8 提示: (1) A = 1 3 a > 1, ⇒ a3 − 14a + 12 > 0, Seidel 迭代收敛.
a > 0, a 2 − 1 > 0, ⇒ 2 , 当 |a| > 5 时, Jacobi 迭代收敛. (2) a3 − 14a + 12 > 0, a 所以, 当 a ≥ √ 14 时, A 对称正定, 从而 Gauss-
2
故 Jacobi 迭代, Gauss-Seidel 迭代均收敛. 2.13 提示: ρ(J ) = 0.9 < 1, 故迭代法收敛. 1 0 . 5 0. 5 2.14 提示: 容易验证 A = 0.5 1 0.5 是对称正定的, 故 Gauss-Seidel 迭代收敛, 但 2D − A = 0.5 0.5 1 1 −0.5 −0.5 −0.5 1 −0.5 不正定, 故 Jacobi 迭代发散. −0.5 −0.5 1 0 0 −1 3 2.15 提示: BJ = 1 0 0 . 特征方程 3λ + λ + 2 = 0, 特征值 λ1 = −0.478, λ2,3 = 1 2 0 3 3 故 Jacobi 迭代收敛. −1 −1 , 因为 ρ(BS ) = 1, 故 Gauss-Seidel 迭代发散. −1 −22 11 1 2.16 提示: (1) 将原方程组的系数矩阵调整为: 1 −4 2 , 显然为严格对角占优矩阵, 故 11 −5 −33 = 0