（1）u2202sin(t )2202ej45)A
4
•
（2）I 10/36.910 2sin(t 36.9)A
•
U 220 / 60 V
电压单位是V！
正弦量和相量 之间只有对应 没有相等。
（3）U380/60V
相量上面要加
符号“·”！
4.3 相量分析法
4.3.1. 串联电路的相量模型分析
串联。试分别求所需的R、L、C的值。如果换接到
1. 220V直流电源上，这三种情况的结果分别如何？ 白炽灯的灯丝电阻为：R'UN2 112020 2
PN 60
白炽灯和电阻相串联时，电路为纯电阻性质，因此
总电压有效值等于两个分电压有效值之和，所以：
UR221 011 01V ， 0 分压相同 同， ，R 阻 即 20 值 ： 2也
R RLC串联电路
思考 练习
1. 把下列正弦量表示为有效值相量：
•
（1）i 10sin(t 45)A
I 7 .07 / 45 A
（2）u220 2sin(t 90)V
•
U 220 / 135 V
（3）u220 2cos(t 30)V
2. 指出下列各式的错误并改正：
利用相量图辅助分析，根据平行四边形法则， U 由相量图可以清楚地看出：
U2
2 U1
1
U1cosψ1+U2cosψ2
U(U1co1sU2co2s)2(U1sin1U2sin2)2
arcU U t11acsn o i n1 1s U U2 2scio n22s
A3j4 第 三 象 限A5/12.69(arct4a/n3180)
代数形式中虚部数值前面的j是旋转因子，一个复 数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；除以j相 当于在复平面上顺时针旋转90°（数学课程中旋转因 子是用i表示，电学中为了区别于电流而改为j)。
1. 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、 A-B、A×B、A÷B。
U1sinψ1+U2sinψ2
利用相量图分析计算同频率正弦量之 间的加、减运算，显然能起到化隐含 为浅显的目的，根据相量与正弦量之 间的对应关系：u=Umsin(ωt +φ)
4.2.2 复阻抗
如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用 复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简 称复阻抗。各元件复阻抗的代数形式如下：
串联电路阻抗的一般表达式：
ZRj(XLXC) R2 (XLXC)2
arctaXnLXC Z/
R
其中 Z R2 (XLXC)2称为串联电路的中模复，阻抗
arctaXnLXC 是串联电路中幅复角阻。抗的
R
若串联电路中只有两个元件相串联时，代入上
式仍旧适用。
参看前面的阻抗三角形。
4.将结果变换成要求的形式。
例1 下图中已知：I1=10A、UAB =100V，求：
A 、UO 的读数。
I&1
j10 C1 I& A A I&2
C2
B
5 j5
UO
解题方法有两种：1.利用复数进行相量分析； 2.利用相量图分析求解。
利用复数进行相量分析：
j10
C1 I& A
A
I&1 I&2
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电 路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本 定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下： 1.据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）；
RR、LjXL、CjXC uU 、iI 、 eE
2.根据相量模型列出相量方程式或画出相量图；
3.用相量分析法或相量图求解；
用有效值相量表示，即： U1 = U1 ψ1
画在相量图中：
U2 = U2 ψ2Fra bibliotekU2也可以把复平面省略，直接画作
U2
2 U1
1
虚线可以不画
2 U1
1
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正 弦量之间的加、减运算及其电路分析。
u 1 2 U 1 s t i 1 n ， u 2 2 U 2 s t i 2 n ， u u 1 u 2 。 求
ui相位差： arctan(20 /15) 53.1
i 0.8 2 sin(2500t 53.1)A，电路呈感性。
•
•
•
U R 12/ 53.1V，U L 24/ 36.9V，U C 8/ 143.1V，
思考 练习
1. 一个110V、60W的白炽灯接到50Hz、220V的正弦 电源上，可以用一个电阻、一个电感或一个电容和它
单一电阻元件的 Z复 R， 阻只 抗有实部没有虚部
单一电感元件的 Z复jX阻 L，抗 只有虚部没实部
单一电容元件的 Z复 j阻 XC， 抗只有虚部没有实
如果几个理想元件相串联时，它们复阻抗的模
和幅角可由以下三角形求出：
XL

R
XL-XC
|Z|

RL串联电路 R
|Z| RC串联电路XC
|Z|

复数的几种表示方法可以相互转换。
已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出 复数A的极坐标形式和代数形式表达式。
极坐标形式为：A=5/53.1°
a1 5cos53.13 代数表达形式为：A=3+j4
a2 5sin53.14
4.1.2 复数运算法则
设有两个复数分别为： Aa/a a1 ja2 Bb/b b1 jb2
A、B加、减、乘、除时的运算公式
A B (a1 b1 ) j(a2 b2 ) A B (a1 b1 ) j(a2 b2 )
A • B ab/ a b
A B

a b
/
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便； 复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数 所在象限正确写出幅角的值。如：
A3j4 第 一 象 限A5/53.1(arct4a/n3)
A3j4 第 四 象 限A5/53.1(arcta4/n3)
A3j4 第 二 象 限A5/12.69(180arcta4/n3)
第4章 相量分析法
4.1 复数 及其运算
4.4 复功率
4.2 相量 和复阻抗
4.3 相量 分析法
本章学习目的及要求
熟悉复数的几种表达方式及其加 减乘除运算规则；掌握正弦量的相量 表示法、相量的性能及其运算方法； 掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用 相量图进行正弦量的辅助分析；正确 理解正弦交流电路中几种功率的分析。
IC
RLC并联电路相量模型
IC
IC ILC
IR
'
I
ILC
I
IL
' IR
U
U
IL
IL<IC时的相量图， 电压滞后总电流。
IL I电L>压IC超时前的总相电量流图。，当电I路L=中IC阻时抗，最电大路，出且现为并纯联电谐阻振性，。此时
以感性的并联电路为例，来讨论一下并联电路 的复导纳（即电阻和电纳总的作用效果的复数表示 形 的 数式）G是）；电，BL导复是（导感电纳纳阻用（的Y感倒表抗数示的）：倒；Y数=BG）C+是。j(容BC纳-B（L）容，抗式的中倒
AB6.46.32/51.3(18.4)40.4/32.9
AB6.46.32/51.3(18.4)1.01/69.7
第2题自己练习。
4.2 相量和复阻抗
学习目标：了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相
量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概
念。
4.2.1 相量
由复导纳的复数表达式又可得出：
Y G2(BCBL)2/arctBaC nB (L)/G
Y/'
显然，在感性电路中， '
电 呈感路性中，的导电纳纳三BL角>B形C，为电倒路三 |Y| 角形；若电路呈容性，导纳 三角形即为正三角形。
G RLC并联电路 的导纳三角形
BC-BL
4.3.3 应用实例
2. 已知复数A=17/24°，B=6/-65°。试求 A+B、A-B、A×B、A÷B。
AB(46) j(52)10 j310.4/16.7
AB(46) j[5(2)]2 j77.28/106
A4 j56.4/51.3 B6 j26.32/18.4
U

I UR
UL UC ULC
U

UR
RL串相量图
I UC
U
RC串相量图

UR I
UC RLC串相量图
由相量图可以看出：RL串联电路中总电压超前 电流一个φ角；RC串联电路中总电压滞后电流一个 φ角；RLC三元件相串联的电路中，若UL>UC，则总 电压超前电流一个φ角，若UL<UC，则总电压滞后电 流一个φ角，若UL=UC时，总电压与电流同相，相位 差φ=0，电路出现串联谐振（后面专门讨论）。
由阻抗三角形可以看出：感性电路为正三角形，
总电压超前电流；容性电路为倒三角形，总电压滞后
电流；若纯电阻性时，虽然电路中含有动态元件L和 C，仍旧会出现电压和电流同相的特殊情况，此时电 路中总的复阻抗等于电阻R。
11
4.3.2 并联电路的相量模型分析
I
IR
IL
U
在RLC并联电路中，各元件两
IC
端加的电压相同，因此在相量分析 中，应以电压为参考相量。
4.1 复数及其运算
学习目标：复数的运算是相量分析的基础，了解复
数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解