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上 海 海 事 大 学 试 卷
2009 — 2010 学年第二学期期末考试
《 高等数学A （二）》（A 卷） （本次考试不能使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)
1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f y '(,)32=（ ） (A) 41 (B) 40
(C) 42 (D) 39
2、设圆域D ：x 2+y 2≤1,f 是域D 上的连续函数，则
答 ( )
3、如果81
lim
1=+∞→n
n n a a ,则幂级数∑∞
=03n n n x a (A)当2<x 时,收敛； (B) 当8<x 时,收敛；
(C) 当81
>
x 时,发散； (D) 当2
1
>x 时,发散；
答( )
--------------------------------------------------------------------------------------装
订
线------------------------------------------------------------------------------------
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4、设Ω为球体x 2+y 2+z 2≤1,f (x ,y ,z )在Ω上连续，I =x 2yzf (x ,y 2,z 3),则I =
(A) 4x 2yzf (x ,y 2z 3)d v (B) 4
x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v
(C) 2
x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v (D) 0 答 ( )
5、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向一周，则曲线积分
（ ）
二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)
1、设)ln(),,(2
22z y x z y x f ++=，则=-)2,1,1(f d gra
2、=-=+++
dz z y x xyz 处全微分在)1,0,1(,2222
3、设L 为圆周122=+y x ，则⎰
=L
ds x 2
4、如果幂级数n n x a ∑在x = -2处条件收敛，则收敛半径为R=
5、曲面32=+-xy e z z 在（1，2，0）处切平面方程为
三 计算题（必须有解题过程） （本大题分7小题，共 60分） 1、（本小题8分）
已知2
2
)1()1(ln -+-=y x u ，试求：2222y
u
x u ∂∂∂∂+
2
222
222
2])1()1[()
1(2)1()1(1)1()1(1
-+---
-+-=
-+--=
y x x y x u y x x u •
xx x 解： 4分
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2
2)
1()1(1
-+--=
y x y u y
2
222
22]
)1()1[()1(2)1()1(1-+----+-=y x y y x u yy
7分
u u xx yy +=0。

（8分）
2、（本小题8分）
求函数223333y x y x z --+=的极值。

解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0630632
2
y y z x x z y
x ，得驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0( 3分 2
xy
yy xx z z z D -=)1)(1(36--=y x 5分 0
6)2,2(,
036)2,2(036)2,0(,036)0,2(,06,036)0,0(>=>=<-=<-=<-=>=xx xx z D D D z D
点)0,2(),2,0(非极值点；函数z 在点(,)00处取极大值z (,)000=； 7分 在点)2,2(处取极小值8)2,2(-=z 。

44= 8分
3、（本题12分，每题6分）
判别下列级数的敛散性，若是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛。

（1）
∑∞
=-+1
1
2)
1
2(
n n n n （1）解：,)1
2(
1
2-+=n n n n u
原级数收敛∴<=
+==-∞
→∞
→,14
1
)1
2(lim 12lim
n
n n n n n n n u ρ 。

……6分
或n
n n u ⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛<<-4122101
2，所以原级数收敛。

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（2）
∑∞
=--1
1
4)1(n n
n n （2）解：14
1
441lim 1<=⋅
++∞→n n n n n ， 3分 ∑∞
=1
n n
u
收敛，所以原级数绝对收敛。

6分
4、（每小题8分）
在()0,π内把函数()f x x =-π展开成以2π为周期的正弦级数。

解：在()-π,0内对()f x 做奇延拓，延拓后所得函数的Fourier 系数 1分
a n n ==⋅⋅⋅0012,,,, 3分
()b x nx x n =
-⎰20π
ππ
sin d
()=-
--⎰2
020n x nx n nx x π
ππππcos cos d ⋅⋅⋅==,3,2,1,2n n
6分
由()f x 在()0,π内连续，单调，故在()0,π内
()f x x nx
n n =-==∞
∑
π21
sin 8分
5、（本小题8分）
计算⎰⎰∑
++xydxdy dxdz y dydz x 22，∑为曲面22
1z x y z =+=和所围立体表面外侧。

解：原式=⎰⎰⎰Ω
++dv y x )022( 4分
=
⎰⎰⎰
+1
10
20
2)sin 2cos 2(r
dz r r rdr d θθθπ
6分
=0 8分
6、（本小题8分）
已知)(x f n 满足n e x x f x f x n n n ,)()(1-+='为正整数，且n
e
f n =
)1(
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求：∑+∞
=1
)(n n x f
6、（本题8分）
解：)(x f n )(C n
x e n
x
+=， 3分 由n e f n =)1(，得C=0，所以 )(x f n =n
e x x
n 4分
∑
+∞
=1
)(n n x f )1ln(1x e n
x e x n n
x -==∑+∞
=， 7分
收敛域[)1,1-。

8分
7、(本小题8分)
已知)(x f 连续，且满足⎰
--=x dt t f t x x x f 0
)()(sin )(，求)(x f 。

解：0
()cos (),()sin (),x
f x x f t dt f x x f x '''=-=--⎰
()()sin f x f x x ''+=- 4分
解得：121
()cos sin cos 2
f x C x C x x x =++
，且(0)0,(0)1f f '== 7分
得1210,2C C ==，所以11
()sin cos 22
f x x x x =+ 8分
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)
1、(C)
2、(A).
3、( A )
4、 D
5、（A ） 二、填空题(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) 1、⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-32,31,
31
2、dy dx 2-
3、π
4、2
5、062=-+y x。