（3 分）
2
=
2 4− x − y
2 2
d xd y =
2
2 d xd y z
且 D = ( x, y ) | x + y ≤ 4
2
∴
∫∫ (x
S
2
z + y 2 z d S = ∫∫ x 2 + y 2 ⋅ 2 d x d y
D
)
(
)
（4 分）
= 2∫ d θ∫ r 2 ⋅ r d r
0 0
2π
其中S是半球面x2+y2+z2=4,z≥0.
3、求曲面积分
4、计算 rot(r×c),其中 r 为矢径，c={2,1,－3}. 5、设 u = x + y + z ，而 z = x cos y ，求
2 2 2 2
∂u ∂u , 。 ∂x ∂y
四、证明题（10 分）
设函数 u = F ( x , y , z ) 在条件 Φ( x , y , z ) = 0 下有极值为 u0 = F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，其中函数
3 2
（6 分） （3 分） （6 分）
u y = 2 y + 2 z ( − x 2 sin y ) = 2 y − 2 x 4 sin y cos y
四、证明题（10 分）
证明：显见曲面 u = F ( x , y , z ) 与 Φ( x , y , z ) = 0 在 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 相交。 令 L = F ( x, y, z ) + λF ( x, y, z ) 则在点 x 0 , y 0 , z 0 ) 处有 （2 分）
2 2 2
(0,0) 是函数 z 的（
） （B）极大值点且是最大值点 （D）极小值点且是最小值点
（A）极大值点但非最大值点 （C）极小值点但非最小值点 3、 设 f ( x, y) = e
'
x+ y
2 1 1 1 ' 3 3 3 3 则在 （0,1） 点处的两个偏导数 f x ( 0,1) x ( y − 1) + y ( x − 1) ，
山东大学《数学分析 III》期末复习参考题
题 得 号 分 一 二 三 四 总 分
一、选择题（共 5 小题，20 分）
1、二重积分 (其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为( )
2 、设函数 z = z ( x , y ) 是旋转双叶双曲面 − x − y + z = 1 的 z > 0 的部分，则点
π π π 3+ 2 +2 在点 ( , ,− ) 处的 2 6 4 6
P ( −1,3,−4) ， P 的法线与
F ( x , y , z ) = 0 过点
且 Fx ( P ) = − 3 , Fy ( P ) = 2 3 , Fz ( P ) = 1 ， 则 曲 面 F ( x , y , z ) = 0 在 点
Lx = Φx + λΦ x = 0 L y = Φy + λΦ y = 0 Lz = Φz + λΦ z = 0
所以向量 Fx , Fy , Fz
（5 分）
{
}
( x 0 , y 0 , z0 )
与向量 （8 分）
{Φ
x
,Φ y ,Φz}
( x0 , y 0 , z 0 )
平行。
'
e ' ， f y ( 0,1) 不存在 3
4、设 z = xye
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
− xy
）
2 x2
(A) −2 x (1 + x ) e
2
(B) 2 x (1 − x ) e (D) − x (1 + x ) e
2
(C) − x (1 − x ) e
2
x2
x2
5、若区域 D 为|x|≤1,|y|≤1,则 (A) e; (B) e -1; (C) 0;
BDCDC
二、填空题（共 10 小题，40 分）
1、0 2、 e 3、
2e
1 5 2
4、 （1，－1） 5、 6、
π
π 4
7、 5i + 2 j − 11k
8、 x + ( 2 − 9、
2 2 2) y − 3 2z = ( + )π 3 4
π 3
2 2
10、 x + y ≤ 1
三、计算题（共 5 小题，30 分）
zx 平面的夹角是___________。
10、函数 arcsin( x + y ) 的定义域为___________。
2 2
三、计算题（共 5 小题，30 分）
1、计算二重积分 2、求曲线 其中 D：|x|≤3,|y|≤1.
z = x 2 + y 2 上的点 (1,6,37) 处的切线的斜率。 y=6
2
4、函数 z = 2 x − 3 y − 4 x − 6 y − 1 的驻点是___________。
5、设D：x2+y2≤2x,由二重积分的几何意义知
=________.
6、曲线
z = xy 在点（2，1，2）处的切线与 x 轴正向所成的倾角为___________。 y =1
7、函数f(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy+yz+4x在点(0，1，－2)处的梯度是__________. 8、 曲面 sin( x + 2 y ) + cos( y + 3z ) − sin( z − 2 x ) = 切平面方程是______。 曲面 9、 设函数 F ( x , y , z ) 具有一阶连续偏导数，
和 f y ( 0,1) 的情况为（
） (B) f x ( 0,1) 不存在, f y ( 0,1) =
'
(A)两个偏导数均不存在； (C) f x ( 0,1) =
'
'
4 e 3
e 4 ' ， f y ( 0,1) = e 3 3
，则 z x ( x ,− x ) = （
'
x2
(D) f x ( 0,1) =
故两曲面在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处有相同法线， 故有相同的切平面。 （10 分）
( (D)π.
)
二、填空题（共 10 小题，40 分）
1、设向量场 A=P(y,z)i+Q(z,x)j+R(x,y)k,则 divA=___________. 2、极限 lim(1 + xe )
y x→0 y →1 2 y+ x x
= _______ 。
3、函数 z = ln( x +
2
y ) 在点（1，3）沿 a = {1,−1} 方向的方向导数是___________。 2
1、解：原式= =36 2、解： k = z x 3、解： z =
x =1 y =6
（3 分） （6 分）
= 2x
x =1
=2
（6 分）
4 − x2 − y2 ，
y + 4 − x2 − y2
2
x d S = 1+ 4 − x2 − y2
d xd y
2
= 2 ⋅ [θ]
2π 0
π2 ⋅ 4 0
2
= 2 ⋅ 2π ⋅ 4 = 16π 4、解：r×c= ={－3y－z,2z+3x,x－2y}. rot(r×c)=
（6 分）
（3 分）
={－4,－2,6}. 5、解： u x = 2 x + 2 z ⋅ 2 x cos y = 2 x + 4 x cos y
F 及 Φ 具有一阶连续偏导数且不全为零。试证明曲面 u = F ( x , y , z ) 与曲面 Φ( x , y , z ) = 0
在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处有相同的切平面（即两曲面相切） 。
《数学分析 III》期末试卷 02 答案与评分标准
一、选择题（共 5 小题，20 分）