高考模拟数学（理科）试卷 (满分150分，答题时间120分钟)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}()|,{0}127|3M y y N x x x =-<<=-≤，则M N ⋃=（ ） A ．[
)0,3 B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝
⎦ C ．71,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
D ．∅
2. 设复数z 满足32,z z -=在复平面内对应的点为(),M a b ，则M 不可能为（ ） A
．( B ．(3)2， C ．(5)0， D ．(4)1，
3.
已知54421
a b log ==， 2.9
13c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．c a b >> 4. 2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一"幅十字绣赠送给 当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下: 小明说:“鸿福齐天”是我制作的；
小红说:“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说:“兴国之路”不是我制作的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红 C. 小金 D ．小金或小明
5. 函数()2sin cos 20
x x x
f x x +=在2,00]2[)(ππ⋃-,上的图像大致为（ ）
A B
C D
6. 为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A B C 、、三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）
A ．24
B ．36 C.48 D ．64 7. 6
2
)11(++
x
x 展开式2x 的系数为（ ） A ．45- B ．15- C ．15 D ．45
8. 框图与程序是解决数学问题的重要手段.实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决.例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入123456715,16,18,20,22,2425x x x x x x x =======,，则图中空白框中应填入（ ）
A ．67S
i S >=
,
B ．B ．67
S
i S ≥=,
C ．67i S S >=,
D ．D ．67i S S ≥=,
9. 记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d = B ．1012a = C.20280S = D ．14a =-
10．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是c b a ,,，当且仅当b c b a >>且时称为
“凹数”，若{
}5,4,3,2,1,,∈c b a ，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是（ ） A ．
2011 B ．256 C ．327 D ．12
7
11. 关于函数()14231
4cos 2
3f x x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫++ ⎪⎝⎝⎭⎭，有下述三个结论:
①函数()f x 的一个周期为2
π； ②函数()f x 在[
3,
24]ππ
上单调递增；
③函数()f x 的值域为[4,
. 其中所有正确结论的编号是（ ）
A ．①②
B ．② C.②③ D ．③
12.已知→
→
→
OC OB OA ,,均为单位向量，满足,2
2=⋅→
→
OB OA ,0≥⋅→
→OC OA ,0≥⋅→→OC OB 设→
→→+=OB y OA x OC ，则y x 2+的最小值为( )
A ．332-
B ．0
C ．3
3
D ．1 第Ⅱ卷（非选择题， 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13. 已知函数()()3
212x f x m x e =+-，若曲线()y f x =在()()
0, 0f 处的切线与直线
420x y +-=平行，则m = ．
14. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若257n n S a =-，则n a = ．
15. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了--定的经济损失，现将A 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m ，中位数为n ，则m n -= ．
16．下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2018在表中出现的次数为________
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为,a b c ,.设
23sin 3sin 3sin 42sin sin sin sin B C A
C B B C
+=+ ()1求tanA 的值； ()2若
23sinB sinC =，且22ABC S =V ，求a 的值.
18. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为等边三角形，11BAB BB A ∠=∠，
11AB A B O CO ⋂=⊥,平面11,ABB A D 是线段11A C 上靠近1A 的三等分点.
()1求证: 1AB AA ⊥；
()2求直线OD 与平面11A ACC 所成角的正弦值.
19. 记抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，点,D E 在抛物线C 上，且直线DE 的斜
率为1，当直线DE 过点F 时，4DE =.
()1求抛物线C 的方程；
()2若2(2)G ，
，直线DO 与EG 交于点0H DI EI +=u u u r u u r
,，求直线HI 的斜率. 20. 已知函数()2x
f x e x cosx =--.
()1当0()x ∈∞-，
时，求证:()0f x >； ()2若函数()()()1g x f x ln x =++，求证:函数()g x 存在极小值. .
21. 为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A 市与B 市之间建 条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m ，现规划在每个路口处种 植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为
1
2
. ()1现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示:
是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；
()2若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X 个路口种植杨树，求X 的分布列以及数
学期望；
()3在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M ，
求证:()()312M m m m ≥--.
附:()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作
答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin θ
θ
=+⎧⎨
=⎩ (θ为参数)，以原点为
极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224
=
4cos a sin a
ρ+
()1求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；
()2若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于,P Q 两点，且2OP OQ =，点M 的坐标为(2)0，，求MPQ V 的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知000a b c >>>,,.
()1求证:()4442242
2
ab a b a a b b a b
+-+≥+.
()2若1abc =，求证:333a b c ab bc ac ++≥++.。