理科数学试题考试时间:120分钟 分值:150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项:1、答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上;条形码粘贴在指定位置.2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净再选涂其它答案标号.在试卷纸上作答无效..........如需作图先用铅笔定型,再用黑色签字笔描绘....................。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}41≤≤=x x A {}322≤-∈=*x x N x B ,则=B A ( ) A.{}31≤≤x xB.{}30≤≤x x C.{}3,2,1 D. {}3,2,1,0 2.已知i 为虚数单位,复数z 满足()i z i 221+=-,则z z ⋅=( ) A.4 B.2C.4-D.2-3.设R x ∈,则“12<-x ”是“022>-+x x ”的( ) A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知菱形ABCD 的边长为a , 60=∠ABC ,则=⋅CD BD ( ) A.223a -B.243a -C.243aD.223a 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若888,S a ==则公差d 等于( ) A.41B.21 C.1 D.26.函数()cos xxy e e x -=-的部分图象大致是( )7.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中,各射击10次.四人测试成绩对 应的条形图如下: 以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确...的是( )A .平均数相同B .中位数相同C .众数不完全相同D .丁的方差最大8. 已知角θ的终边在直线3y x =-上,则2sin 21cos θθ=+( )A .611-B .311-C .311D .6119. 设6log 3=a ,10log 5=b ,14log 7=c ,则( )A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c b a >>10.双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点M ,A 为左顶点,F 为右焦点,若MAF ∆为等边三角形,则双曲线的离心率为( )A.3B.4C.5D.6 11.在棱长为6的正方体中,点E ,F 分别是棱,的中点,过A ,E ,F 三点作该正方体的截面,则截面的周长为( )A. B. C. D.12. 定义在R 上函数()f x 满足)(21)1(x f x f =+,且当∈x [)01,时,()121f x x =--. 则使得1()16f x ≤在[)+m ∞,上恒成立的m 的最小值是( ) A.72 B. 92 C. 134 D.154二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中的横线上) 13. 二项式62()x x-展开式中的常数项为__________ 14. 甲乙两名运动员各自等可能的从红、白、蓝3种颜色的运动服选择1种,则他们选择 相同颜色运动服的概率为___________ 15. 网上购鞋常常看到下面的表格:脚长mm a n // 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 鞋号mm b n //34353637383940414243请根据表格归纳出n b 和n a 的关系式______________;如果一个篮球运动员的脚长为mm 282,根据计算公式,他该穿的鞋的鞋号为_____号16.如图,平面四边形ACBD 中,,,,为等边三角形,现将沿AB 翻折,使点D 移动至 点P ,且,则三棱锥的外接球的表面积为_____三.解答题:(本大题满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)在△ABC 中,三内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若sin 2sin 3cos A B A += 且B 为锐角, (Ⅰ)求C ;(Ⅱ)已知2a =,8-=⋅BC AB ,求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为长方形,PA ⊥底面ABCD ,3=BC , 4==AB PA ,,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点。(1)求证:AE ⊥平面PBC(2)求平面AEF 与平面PCD 所成二面角的正弦值。19.(本小题满分12分)在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,学生线上学习。
某校数学教师为了调查高三学 生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人,余下的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占138,统计成绩后得到如下列联表:分数不少于120分分数不足120分合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时合计45(1)请完成上面列联表;并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上 学习时间有关”;(2)(i)按照分层抽样的方法,在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两 组学生中抽取9名学生,设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X , 求X 的分布列(概率用组合数算式表示);(ii )若将频率视为概率,从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽 取20人,求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. (下面的临界值表供参考)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ,其中n=a+b+c+d.)20.设椭圆 2222b y a x +=1()0>>b a 的右顶点为A,上顶点为B ,已知椭圆的离心率为35,13=AB (1).求椭圆的方程(2).设直线()0:<=k kx y l 与椭圆交于Q P ,两点,l 与直线AB 交于点M ,且点M P ,均 在第四象限.若BPM ∆的面积是BPQ ∆面积的2倍,求k 的值.21.已知函数()x f =1ln +x x a +xb,曲线在点处的切线方程为.Ⅰ求a 、b 的值; Ⅱ证明:当,且时,()1ln ->x xx f22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为33,x kt y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数),直线2l 的参数方程为33,x m y km =-⎧⎨=⎩(m 为参数).设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线1C . (1)求1C 的普通方程;(2)设Q 为圆()222:43C x y +-=上任意一点,求PQ 的最大值.23.(本小题满分10分)选修4–5不等式选讲已知函数()11f x x m x m =-+++(其中实数0m >) (Ⅰ)当1m =,解不等式()3f x ≤; (Ⅱ)求证:()()121f x m m +≥+.大庆四中2019~2020学年度高三年级第四次校内检测理科试题答案一.选择题 1-5 CAADD 6-10 BDADB 11-12 DD二.填空题 13. 240 14.3115.47 16.π812.解答题17题答案解(Ⅰ)由sin 2sin 3cos A B A +=,得31sin cos sin 22B A A =- πsin sin 3B A ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭. 所以π3B A =-,或π2ππ33B A B A ⎛⎫+-=⇒=+ ⎪⎝⎭. 因为B 为锐角,所以π3B A =-,即π3B A +=,故2π3C =. …………5分 (Ⅱ)由8-=⋅BC AB ,得cos(π)8cos 8ca B ca B -=-⇒=. 因为2a =,所以cos 4c B =①.根据正弦定理,sin sin a c A C =,及π3A B =-,23C π=,2a =, 得23sin 32cB π=⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以πsin 33c B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 31cos sin 32B c B ⇒-=.①代入②,得123sin 32c B =sin 23c B =所以ABC ∆的面积等于11sin 2232322ac B =⨯⨯=. …………12分19.解:分数不少于120分分数不足120分合计每周线上学习数学时间不少于5小时15419每周线上学习数学时间不足5小时101626合计252045由列联表可知:,所以有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”由分层抽样知,需要从分数不足120分的学生中抽取,又分数不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数为16人.设抽取的20人中每周线上学习时间不足5小时的人数的X,所以X的可能取值为0,1,2,3,1,2,3,,X的分布列为:X01234P从全校数学成绩不少于120分的学生中随机抽取1人此人每周上线时间不少于5小时的概率为,设从全校数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人,这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y,则,故E,.20.解:设椭圆的焦距为2c,由已知有,又由,可得.由,从而.所以,椭圆的方程为.设点P的坐标为,点M的坐标为,由题意,,点Q的坐标为.由的面积是面积的2倍,可得,从而,即.易知直线AB的方程为,由方程组消去y,可得,由方程组消去y,可得.由,可得,两边平方,整理得,解得或.当时,,不合题意,舍去;当时,,符合题意.所以,k的值为.21.Ⅰ.由于直线的斜率为,且过点所以解得,Ⅱ由知,所以考虑函数,则所以当时,而,当时,可得; 当从而当且时,22.(1)消去参数t 得1l 的普通方程为33x ky +=, ··························································1分消去参数m 得2l 的普通方程为()33k x y -=-. ·························································2分 联立()33,33x ky k x y +=⎧⎨-=-⎩消去k 得()()2339x x y +-=-,·················································3分 所以1C 的普通方程为2219x y +=(3x ≠). ·····························································5分 (2)依题意,圆心2C 的坐标为()0,4,半径3r =. ·············································6分 由(1)可知,1C 的参数方程为3cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,且2π,k k θ≠∈Z ),···7分 设()3cos ,sin P θθ(2π,k k θ≠∈Z ),则()()22223cos sin 4PC θθ=+-()2291sin sin 8sin 16θθθ=-+-+28sin 8sin 25θθ=--+, ···················································································8分 当1sin 2θ=-时,2PC 取得最大值21188253322⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ···············9分 又2PQ PC r +≤,当且仅当2,,P Q C 三点共线,且2C 在线段PQ 上时,等号成立. 所以max 33343PQ =+=. ·················································································10分 23.解析:(Ⅰ)由条件知1m =时,()12,121311,1222112,22x x f x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=-++=-≤<⎨⎪⎪-+<-⎪⎩于是原不等式可化为①11232x x ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩;②112332x ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩;③121232x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩解①得714x ≤≤;解②得112x -≤<;解③得5142x -≤<-,所以不等式()3f x ≤的解集为57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………5分 (Ⅱ)由已知得()()()111111f x x m x m m m m m +=-++++++()()11111111x m x m m m m m m m ⎛⎫≥--++=++ ⎪++++⎝⎭1111211m m m m m m =++-=+≥++当且仅当1m =时,等号成立,于是原不等式得证. ………10分。