(7-11)
由于 X 射线穿入能力的限制，只能测量试样表层应力。在这种情况下，可以近似地把
试样表层的应力分布看成二维应力状态，即 3 0（注意3 0 ）。因此，式(7-8)可简化为：
1

1 E
( 1
2 )
2

1 E
( 2
1)
3


E
( 1

2)
将式(7-10)、(7-12)、(7-11)代入式(7-9)：
此，要利用弹性力学理论求出 的表达式，并将其与晶面间距或衍射角的相对变化联系起
来，得到测定宏观应力的基本公式。 由弹性力学原理可知，在一个受力作用的物体内，无论其应力系统如何变化，在变形区
域内某一点或取一无限小的单元六面体，总可以找到一个单元六面体各面上切应力＝0 的
正交坐标系统。在这种情况下，沿坐标轴的正应力 x 、 y 、 z 分别用 1 、 2 、 3 表示，
7.2 X 射线应力测定实验方法
宏观应力的测定可以用 X 射线衍射照相法、应力仪测定法和衍射仪法。照相发由于效 率低和误差大而很少应用。
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7.2.1 X 射线应力测定仪法
X 射线应力测定仪适用于较大的整体部件和现场设备构件的应力测定，它正向着轻便、 快速、高精度和自动化方向发展。新型的 X 射线应力测定仪已装备有高强度 X 射线源、快 速测量的位敏计数器和计算机自动测量系统。
宏观应力对机械构件的疲劳强度、抗应力腐蚀、尺寸稳定性和使用寿命等都有直接的影 响。因此，宏观应力的测定具有重要的意义。
7.1 基本原理
最简单的受力状态是单轴拉伸。假如有一根截面积为 A 的试棒，在轴向 z 施加拉力 F，
其长度由受力前的 L0 变为拉伸后的 Lf，产生的应变 0 为：
z

L f L0 L0

R-
cos[

R (90o
)]
cos[

(90o - )]

R 1 -

cos[ cos[

(90o - )]
(90o
-
)]

式中 R 为测角仪圆半径。
(7-22)
常规衍射仪测应力时，试样要绕测角仪轴转，因此，不适于大部件的测量。
7.3 沿表层深度的应力测定
分别测出其衍射峰的 2角。因每次以不同的 0 角入射，则与试样表面呈不同取向的 HKL
晶面产生衍射，因此，2角的变化反映了不同取向的 HKL 晶面间距因应力作用而引起的变 化。
实际应用时，通常采用 sin2 法和 0-45法。
1. sin2 法：
实验测定时，首先使 X 射线垂直于试样表面入射，即 0 0o 。如图 7-2(a)所示。由探 测 器 扫 描 定 2 角 。 此 时 所 测 到 的 是 方 向 的 应 变 ， (180 2 ) 2 。 习 惯 上 取
z

E
cot

(7-7)
此式为测定单轴应力的基本公式。其表明，当试样中存在宏观应力时，会使衍射线产生位移。
那么可以通过测量衍射线产生位移，来测定宏观应力。还应注意到，XRD 方法测定的实际
上是残余应变（式(7-4)）。而宏观应力是通过弹性模量计算出来的（式(7-7)）。
根据实际应用需要，X 射线衍射测应力的目的是测定沿试样某一方向上的宏观应力 。为
图 7-3 宏观应力测定仪的衍射几何
7.2.2 常规衍射仪法
在常规衍射仪上测定宏观应力时，要在测角仪上另装一个能绕测角仪轴独立转动的试样
架，它可以使试样表面转到所需要的 0 角位置，以便测量各角下的 2 值。这使测角仪
在准聚焦（或半聚焦）的条件下进行测量，其衍射几何如图 7-4 所示。
图 7-4 衍射仪测定宏观应力的衍射几何 85
式(7-18)表明， 2 和 sin2 呈线性关系，其斜率 M K 。如果在不同的角下测量
2 ，然后将 2 对 sin2 作图，便可以从斜率 M K 中求出 。当 M0 时为拉应
力；当 M0 时为压应力；当 M＝0 时为应力等于 0。
测量时，使 X 射线以不同的入射角 0 （入射束与试样表面法线间的夹角）照射样品，
称为主应力，相应的应变1 、 2 、3 称为主应变。它们间满足广义虎克定律：
1

1 E
[ 1
( 2
3)]
2

1 E
[ 2
(1
3)]
(7-8)
3

1 E
[ 3
(1
2)]
由弹性力学可以导出，在主应力（或主应变）坐标中，任一方向的正应力（或正应变）
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当 0 时，反射面法线与试样表面法线重合，衍射几何与常规衍射仪相同；当 0
时，由于试样表面始终保持与聚焦圆相切，因此，入射线与衍射线不以试样表面法线对称分
布，衍射线的聚焦点 F 也离开计数器的接收狭缝一段距离 D：
D R CF R-AC cos[ (90o - )]
图 7-3 给出了 X 射线应力测定仪的衍射几何示意图。 0 表示入射线与试样表面法线的
夹角。为 与试样表面法线夹角，测角台可以使入射线在 0 0 45o 范围内投射。探
测器扫描范围一般为 145-165。和0 间关系为
0 ( 2 )
(7-21)
根据试样的要求和实际情况，可以用 sin2 法和 0o 45o 法进行应力测定。
沿表层深度的应力分布是人们感兴趣的问题，通常采用逐步剥层测定方法，即利用机械
或化学方法剥去表层，再进行测定。但这种做法每剥去一层都会引起内应力的部分释放，导
致应力重新分布，存在较大的误差。因此，要对测量结果进行修正。
对于平板试样，令其厚度为 h，距离表面为 a 的薄片上的内应力为。校正方法为：从
平板试样两面各剥除厚度为 a 的表层，用 X 射线法测定新表层的残余应力 x ，而该层原始
与主应力（或主应变）间关系为：
121 22 2 32 3 121 222 323
(7-9)
式中1 、2 、3 分别为 与主应力（或主应变）的方向余弦，为 与试样表面法线
夹角。如图(7-1)所示。
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z 3

1
x

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0o ,15o ,30o ,45o 四个方向入射。由于直线上首尾两点在确定直线斜率方面有较大的权
重，故常在 0o 和45o 重复测量，取平均值，作“ 2 sin2 ”直线，求斜率 M，代
入公式(7-18)，求出 。或者运用最小二乘方原理，将数据点( 2 , sin2 )回归成直线方
的相对变化来表达径向应变：
x
y

d f d0 d0

d d
(7-4)
若试样各向同性，则有
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x y z
(7-5)
式中为泊松比，负号表示收缩。那么有：
z

E

d d
(7-6)
由布拉格方程微分得 d cot ，所以 d
程，计算出 M 值，再由 M K 求出 。
M
2 sin2 n 2 sin2 ( sin2 )2 n sin4
入射 X 射线
入射 X 射线
(a)
计数器
(b)
(7-19)
计数器
2
o
2
.
o= 0
o=o
图 7-2 (a) 0 0o 时的衍射几何；(b) 0 0 时的衍射几何
(7-1)
由虎克定律，其弹性应力 z 为：
z E z
(7-2)
式中 E 为弹性模量。拉伸时，试样直径将由受力前的 D0 变为拉伸后的 Df，径向应变 x 、 y
应为：
x
y

D f D0 D0
(7-3)
与此同时，试样各晶粒中与拉伸轴平行的晶面，其面间距 d 会相应变小。因此可用晶面间距
2. 0o 45o 法： 如果材料的晶粒较细，织构和微观应力不严重， 2 sin2 线性关系较好，可以只
取直线的首尾两点，即 0o 和45o 。这时式(7-17)简化为：



E 2(1

)
cot
0
180
20 245 sin2 45o
(7-20)
此即 0o 45o 法，它是 sin2 法的简化方法。
写成：



E 2(1

)
cot
0

180

(2 ) sin2
(7-17)
或写成：
(2 ) sin2

KM
(7-18)
式中
K


E 2(1 )
cot0
180
（单位取决于弹性模量
E，kg/cm2度）。对同一部件，当选
定了 HKL 反射面和波长时，K 为常数，称为应力常数。

d d
cot 0

cot 0 (
0)
式中0 为 0 时的布拉格角； 为 时的布拉格角。
将式(7-15)代入(7-14)：



E 2(1

)
cot
0
(2 ) sin2
(7-15) (7-16)
实际应用计算时，上式中的 2 要以角度读数，故作一个乘180 的因数变换，则上式
2 y

图 7-1 主应力（或主应变）与分量的关系
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1 sin cos 2 sin sin 3 cos