a1 b1,a2 b2 ( R); a1 b1,a2 b2,a3 b3( R);
a b ab 0
a b ab 0
a1b1 a2b2 0
a1b1 a2b2 a3b3 0
【新知探A究(x】1 , y1 , z1)
B(x2 空, y2间, z2两) 点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知
的大小。
P
F
E
D
C
A B
法1： 建立空间直角坐标系，设DC=1.
已知PB EF,由（2）可知PB DF,故EFD是
二面角C PB D的平面角。
设点F的坐标为(x, y, z),则PF (x, y, z 1)
因为PF k PB 所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
P
(k,k,k)
FD ( 1 , 1 , 2) 333
因为cosEFD FE • FD FE FD
(
1, 3
1 , 6
1) • ( 1 , 63
6• 6 63
1 , 3
2) 3
1
6 1
3
1 2
所以EFD 60 ,即二面角 C PB D的大小为 60 .
例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
2y 5y
z0 3z 0
,
取z
1，得
x
1 2
y 1
n (1 , 1,1), | n | 3
2
2
求平面ABC的单位法向量为 (1，- 2，2）
3 33
例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
即x k, y k, z 1 k
F
E
因为PB • DF 0
所以(1,1,1) • (k, k,1 k)
k k 1 k 3k 1 0A 所以k 1 F(1，1，2) X
3 333
D
C Y
B
点F的坐标为(1，1，2) 又点E的坐标为(0, 1 , 1)
333
22
所以FE ( 1 , 1 , 1) 36 6
A
于是
1 2
y
1 2
0
n
1,
x y 0
1,
1 X
E
C Y
B
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的 单位法向量。
解：设平面的法向量为n （x，y，z），
则n AB，n AC （x，y，z）(2, 2,1) 0，（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx
练习1.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、
C1D1的一个四等分点，求：B,
E1
,D,
F1
的坐标，以及
z
BE1, DF1坐标
解: 建立直角坐标系
D1
F1
C1
B(1,
1,
0),
E1
1,
3 4
,
1
,
A1
E1 B1
D(0,
0,
0),
F1
0,
14，1
DO
A
BE1
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
三、方向向量与法向量
１．直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
•l
A•
P
a
直线ｌ的向量式方程 AP t a
2 平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得D(0, 0, 0), P(0, 0,1),
P
E(0, 1 , 1 ) B(1,1，0)
22
DE (0, 1 , 1 ) DB =(1,1，0)
22
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1)
D
则n DE, n DB
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。
Z
法2： 如图所示建立 P
空间直角坐标系，设DC=1.
平面PBC的一个法向量为
DE (0, 1 , 1) 22
平面PBD的一个法向量为
CG (1 , 1 , 0) A 22
0,
1 4
,1，求
cos
BE1
,DF1Βιβλιοθήκη 解:BE1DF1
0
0
1 4
1 4
11
15 16
,
| BE1 |
17 4
, | DF1 |
17 . 4
cos
BE1
,
DF1
|
BE1 BE1 |
DF1 | DF1
|
15 16 15 . 17 17 17 44
【应用举例】
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、
A
F
E
D
C
B
小结：
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
1
,
3 4
, 1
(1 , 1
,
0)
0
,
1 4
,
1
,
x
Cy
B
DF1
0
,
1 4
，1
(0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
【新知探究】
平面向量运算的坐标表示： 空间向量运算的坐标表示：
设a
a
(a1
,
a2
), b
a
a
(b1
,
b2
)则
设a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3)则
a aa
a12 a22
cos DE1,GC 1/ 2 X
F
E
D
G B
CY
cos 1/ 2, 60
例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。
P
法3： 设DC=1.
已知PB EF, 由（2） 可知PB DF,故EFD是二 面角C PB D的平面角。
;类
比
a12 a22 a32;
ab
ab
cos a,b a b
a1b1 a2b2
推 广
cos
a,b
ab
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 b12 b22; a12 a22 a32 b12 b22 b32;
a // b a b( R) a // b a b( R)
F1
0,
14，1
BE1
1
,
3 4
, 1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
,
1
,
D
O
Cy
DF1
(03, )14对，向1量 (0计, 0算, 0或)证 0明, 14。，1
.
A
x
B
BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
1
1
15 , 1615
|
BE1
|
17 4
, | DF1 |
17 . 4
cos
BE1
,
DF1
|
、
，则
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
d AB | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
练习2.已知
BE1
0,
1 4
,1 ,
DF1
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
3.2.1 空间向量的坐标运算 及法向量的计算
【新知探究】
平面向量运算的坐标表示： 空间向量运算的坐标表示：
设a (a1,a2),b (b1,b2)则 设a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3)则
a
b
(a 1 b1 , a2