习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s==(4) s==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故02s=xs==ys==5zs==.6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则222222(4)1(7)35(2)z z-++-=++--解得149 z=即所求点为M （0，0，149）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB |=|AC |=7.且有|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2.故△ABC 为等腰直角三角形.8. 验证：()()++=++a b c a b c .证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=--c a 2225D A BA BD =-=--c a 3335D A BA BD =-=--c a 444.5D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos604 2.2u OM OM =︒=⨯= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12(7PP == (3) 12cos 14xa PP α== 12cos 14ya PP β==12cos 14za PP γ==(4) 12012{14PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a, b , c .解：||==a||==b ||3==c, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17.解：设{,,}x y z a a a a =则有c o s (1,1)3x a i a a i a iπ⋅====⋅ 求得12x a =. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =则222cos 4a ba b π⋅=⇒=⋅ 则214y a = 求得12y a =± 又1,a =则2221x y z a a a ++=从而求得11{,,}222a =±或11{,,}222-± 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒== 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4==b a ，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b 2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b 21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2||-a b解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b(2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b 222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b 36238499=-⨯+=22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影.解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr jCD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b ) =227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ② 由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==. 24. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且a +b ={2,4, -2}a -b ={-6,10,14}又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a +b )⊥(a -b ).25. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求：(1) a ×b ; (2) 2a ×7b ;(3) 7b ×2a ; (4) a ×a . 解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a .26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算：(1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin 242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin 842=⨯⨯⨯= 27. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin ||||26θ⨯===⨯a b a b . 28. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l . 即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P -- {2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =- {4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =-22222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 30.（1）解: x yz x y z ij k a b a a a b b b ⨯==-+-+-y z z y z x x z x y y x a b a b i a b a b j a b a b k （）（）（）则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅（）（）（）（）x y z x yz xy z a a a b b b C C C = 若,,C a b 共面，则有 a b ⨯后与 C 是垂直的. 从而C 0a b ⨯⋅=（） 反之亦成立. （2） C xy z x y z xy z a a a a b b b b C C C ⨯⋅=（）a xy z x y z xy z b b b b C C C C a a a ⨯⋅=（） b x y z x y z xy zC C C C a a a a b b b ⨯⋅=（） 由行列式性质可得: x y z x yz x y z x y z x yz x y z xy z x y z x y z a a a b b b C C C b b b C C C a a a C C C a a a b b b ==故 C a ?b a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅（）（）（）31. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|222S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S =+. 32.解：设四面体的底为BCD ∆，从A 点到底面BCD ∆的高为h ，则13BCD V S h =⋅⋅， 而11948222BCD S BC BD i j k =⨯=--+= 又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h == 故1942323V =⋅⋅= 33. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.34. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程.35. 求通过下列两已知点的直线方程：（1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程. 解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.38. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0即x +7y -3z -59=039. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b -++=得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x -1=0; (3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0; (5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5）(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x +y -z =0的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A B A B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角.解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得k=±44. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}12232,18613lm lm⇒==⇒=-=--n n(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}12315320 6.l l⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面. 解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}12203203A CA B CA B C CB⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n nn n又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程为233CCx y Cz-++=即2x-y-3z=046. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 47. 求下列直线与平面的交点：(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角： （1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩； （2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行； （3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为 s ={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z==-和3x -2y +7z =8;（3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解：直线的方向向量为12123111-=++-i j ki j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+=解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0得23t =-于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333-54. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k 故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d ==55. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离.56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为R ==设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M (x ,y ,z ) 3.=化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=; （3）22194x z +=; （4）20y z -=; （5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-1259. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=; （3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=; （5）22209z x y +-=. 解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.图7-1760. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1.解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示.图7-18 图7-19图7-20 图7-21 61. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为334624x ty t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.63. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程. (1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=.故曲线在xOy平面上的投影方程为2215 ()24x yz⎧-+=⎪⎨⎪=⎩。