R5
iS2
i2
iR出= iS入 i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
0
-i3-i4+i5=-iS3
例
iS3 un1 1 i3
un2 R3 2
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
iS1
i1 R1 iS2
R2 i4 R4 i2
0
i5
-i3-i4+i5=-iS3
R5
VCR方程
i1 =
0
L
j行
Rj1I1 + L + Rjj I j + L + Rjk Ik + L + Rjl Il = u j
0
L
k行
Rk1I1 + L + Rkj I j + L + Rkk Ik + L + Rkl Il = 0
uk
L
Rl1I1 + L + Rlj I j + L + Rlk Ik + L + Rll Il = 0
标准形式的节点电压方程
1111
11
(+ R1
+ R2
+ R3
R4 ) un1 -
(+ R3
R4 )un2 = iS1 -
iS2 + iS3
11
111
-
(+ R3
R4 )un1 +
(+ R3
+ R4
R5 ) un2 =
-
iS3
G11=G1+G2+G3+G 节点1的自电导，等于接在节点1上 所有支路的电导之和
=
-
iS3
整理，并记Gk=1/Rk，得
+ 10V –
2 I1
8
I
I3
3 I2
2
4
10
I1 =
8+
(2 // 2 +
= 3) // 4
1A
I2 = 0.5 I1=0.5A
I3 = 0.5 I2=0.25A
I= I1-I3 = 0.75A
例2 已知如图 , 求：I1
_
2V +
2
R
0.25A
I1
2
R
+ _10V
解
注意方向
互易
0.25A
(4) 互易时要注意电压、电流的方向。
(5) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
2. 3 节点分析
节点电压法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析电
路的方法。
例
iS3
un1 1
i3
un2 R3 2
(1) 选定参考节点，标明其 余n-1个独立节点的电压
(2) 列KCL方程：
iS1
i1
i5
R1
R2 i4 R4
2
R
齐次性
+ _2V
I1 =
10 (2
0.25) =
-
1.25 A
应用互易定理时应注意：
(1) 适用于线性网络只有一个电源时，电源支路和另一支路 间电压、电流的关系。
(2) 激励为电压源时，响应为电流 电压与电流互易。 激励为电流源时，响应为电压
(3) 电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一 支路； 电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一 支路的两个节点间。
9Ia -10Ib+3Ic= 0
各支路电流为：
解得
Ia=1.19A
Ib=0.92A Ic=-0.51A
I1= Ia=1.19A , I2= Ia- Ib=0.27A , I3= Ib=0.92A
I4= Ib- Ic=1.43A , I5= Ic=-0.52A
* 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。
其中
Rl1i…l1+Rl2il1+ …+Rll ill=uSll
Rkk: 自电阻(为正) ，k =1 , 2 , , l + : 流过互阻两个回路电流方向相同
Rjk: 互电阻 - : 流过互阻两个回路电流方向相反 0 : 无关
网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此 时回路电流也称为网孔电流，对应的分 析方法称为网孔电流法。
N
(a)
c j支路 a
ikj
ijk
d
b
c
线性
–
电阻 网络
uk
N
+
d (b)
当 uk = uj 时，ikj = ijk 。
证明 选定回路电流，使支路j和支路k都只有一个回路电流
流过，且取回路电流的方向和电压升高的方向一致。
j支路 a
uj + –
Ij
b
列方程
k支路
线性
c
电阻 网络
Ik
N
d
(a)
j支路 a
ijk Ij b
k支路
c
线性
–
电阻 网络
Ik
uk
N
+
d (b)
R11I1 + R12I2 L + R1 j I j + L + R1k Ik + L + R1l Il = 0
R21I1 + R22I2 L + R2 j I j + L + R2k Ik + L + R2l Il = 0
j列
k列
R11I1 + L + R1 j I j + L + R1k Ik + L + R1l Il = 0
当含有受控源时，系数矩阵不对称
Δ jk = Δkj 互易定理不成立。
第二种形式: 激励电流源，响应电压
jk
+
+
jk
ij
ukj
ujk
ik
j' k'
–
–
j' k'
(a)
(b)
当 ik = jj 时，ukj = ujk
课后思考
例1
+ 2 10V
– 2
I 3 8
4
求电流 I
解 利用互易定理
un1 R1
i3 =
un1 - un2 R3
i4 =
un1 - un2 R4
un1 + R1
un2 + R2
un1 - un2 + R3
un1 - un2 R4
=
iS1 -
iS2 + iS3
i5 =
un2 R5
-
un1 - un2 R3
un1 - un2 R4+un2 R5=
-
iS3
整理，得
(1+ R1
2. 2 互易定理 (Reciprocity Theorem)
第一种形式: 激励电压源，响应电流
图a电路中，只有j支路中有电压源uj，其在k支路中产生
的电流为 ikj 。
图b电路中，只有k支路中有电压源uk，其在j支路中产生
的电流为 ijk 。
k支路
k支路
j支路 a
uj + – b
线性 电阻 网络
R12=-R2 ， R21=-R2 代表回路1和回路2的公共电阻（互电阻）
i1 R1
+ uS1
–
a
i2
il1 R2 +
il2
uS2 –
b
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 i3 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 R3 R11=R1+R2 自电阻
R22=R2+R3 自电阻 R12=-R2 ， R21=-R2 互电阻
例3 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。 R3
_ Ui + I3 R4
+
US1_ R1
IS R_2 I1 US2
+
I2
R5
方法1
* 引入电流源的端电压变量 (R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui -R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2 -R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
支路电流法 (branch current method )
支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程。
a
例
I1
I2
I3 b=3 , n=2 , l=3
R1
R2
E1
E2
R3
变量：I1 , I2 , I3
KCL KVL
b
a: -I1-I2+I3= 0 一个独立方程
b: I1+I2-I3= 0
I1R1-I2R2=E1-E2 I2R2+I3R3= E2
G22=G3+G4+G5
节点2的自电导，等于接在节点 2上所有支路的电导之和
G12= G21 =-(G3+G4) 节点1与节点2之间的互电导，等于 接在节点1与节点2之间的所有支 路的电导之和，并冠以负号
iSn1=iS1-iS2+iS3 iSn2=-iS3
流入节点1的电流源电流的代数和。 流入节点2的电流源电流的代数和
回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
R3 得
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2