m
16
y ( x) a k x s k
k 0

(a0 0),
(13)
a 2 m (1) m
a0 , 2m 2 m!(n 1)( n 2) (n m)
由于 a 0 是任意常数，我们可以这样取值： 使一般项系数中 2 与 x 有相同的次数，并且同时 使分母简化。 为此取
8
G G 0,
r 2 F rF (r 2 ) F 0.
(9) (10) (11)
将 n 2代入方程(10)得
r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0,
该方程叫做 n 阶贝塞尔方程。 由边界条件(8)V | r R 0 可知 V ( R, ) F ( R)G( ) 0,
k 0
(a0 0),
(13)
其中 s 为常数， 下面来确定 s , a k (k 0, 1, 2, ). 为此，将(13)以及
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
k 0
带入方程(12)
y a k ( s k 1)( s k ) x s k 2
F ( R) 0.
另外，由于圆盘上的温度是有限的， 特别在圆心 处也应如此，由此可得
| F (0) | ,
9
因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题 r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0, (11)
F ( R) 0
| F (0) | ,
的固有值与固有函数。 若令 x
x r , 并记 F (r ) F y ( x), 则
Fr y x , Frr ( y xx ) y xx , 将上式代入方程(11)可得 (12) x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
k 0


(12) (13)

(a0 0),
得到方程(12)的一个特解，记作 J n ( x)
J n ( x) a 2 m x
m 0 n2m
x n2m (1) n 2 m , (18) 2 m!(n m 1) m 0
m
J n ( x)称为 n 阶第一类贝塞尔函数。 又由于
3
这个问题归结为求解下列定解问题：
u t a 2 (u xx u yy ) (0 x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
应用分离变量法求这个问题的解。为此，令 u( x, y, t ) V ( x, y)T (t ), 代入方程(1)得
另外
a0 a0 a2 2 , 2( 2 n 2) 2 1 (n 1) a0 a2 a4 4(2n 4) 2 4(2n 2)( 2n 4) a0 4 , 2 2 1(n 1)( n 2)

a2m a0 (1) 2 m , 2 m!(n 1)( n 2) (n m)
2
5.1
贝塞尔方程及贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的导出 在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或 薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到 贝塞尔方程。下面，我们以圆盘的瞬时温度分 布为例来导出贝塞尔方程。 设有半径为 R 的圆形薄盘，上下两面绝热， 圆盘边界上的温度始终保持0度， 且初始温度 分布为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 我们用u( x, y, t )来表示时刻 t 圆盘上点 ( x, y ) 处的温度函数。
方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程， 它的解称为贝塞尔函数。 (有时称之为柱函数)。
10
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
(12)
二、贝塞尔函数 由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式 的广义幂级数解：
y ( x) a k x s k
G( ) G( 2 ),
求解常微分方程的边值问题
G G 0,
G( ) G( 2 ),
可得
G0 ( ) 1 a0 2
n2
(n 0, 1, 2, )
Gn ( ) a n cos n bn sin n . (n 1, 2, )
( s k ) 2 n 2 a k a k 2 x s k 0,
k 2



13
y ( x) a k x s k
k 0

(a0 0),
(13)
( s 2 n 2 )a 0 x s [( s 1) 2 n 2 ]a1 x s 1
(7)
(8)
V | r R 0.
再令 V (r , ) F (r )G( ), 代入方程(7)得
1 1 F G F G 2 FG FG 0, r r
r2 两端乘以 FG
移项得
G r 2 F rF r 2 F G F
,
附录：
函数的基本知识
( x) e t t x1dt ( x 0),
0
(1) 定义
(1) 1,
1 ( ) . 2
(2) 函数的递推公式
( x 1) x( x ), ( x 0).
特别的，当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n!
14
y ( x) a k x s k
k 0

(a0 0),
(13) (15) (16)
[( s 1) 2 n 2 ]a1 0,
[( s k ) 2 n 2 ]a k a k 2 0 (k 2, 3, )
情形1 如果 n 不为整数(包括0)和半奇数， 先取 s1 n, 代入(15)得 a1 0, 代入(16)得
k 0

可得
s k sk a ( s k ) x a ( s k 1 )( s k ) x k k
k 0

k 0
n

2
a
k 0

k
x
s k
a k x s k 2 0,
k 0

sk 2 sk a x a ( s k 1 )( s k ) ( s k ) n x k 2 0, k
11
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y( x ) a k x s k
k 0
(12) (13)
(a0 0),

y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0

y ak ( s k 1)( s k ) x s k 2
2 2 2
我们采用平面上的极坐标系，则得定解问题
2V 1 V 1 2V 2 V 0 (0 r R), 2 2 r r r r
(7)
V | r R 0.
(8)
6
2V 1 V 1 2V 2 V 0 (0 r R), 2 2 r r r r
(6)
5
u t a 2 (u xx u yy ) (0 x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解， (5) Vxx V yy V 0, (6) V | x y R 0.
ak 2 ak . (k 2, 3, ). k ( 2n k )
(17)
由(17)可知
a1 a3 a5 0,
15
y ( x) a k x s k
k 0

(a0 0),
(13) (17)
ak 2 ak . (k 2, 3, ). k ( 2n k )
u |t 0 ( x, y ).
于是有
T a 2T 0,
Vxx V yy V 0.
方程(4)的解为
T (t ) Ae
a 2 t
.
由边界条件(2)有
V | x 2 y 2 R 2 T ( t ) 0,
V | x 2 y 2 R 2 0.
1 a0 n . 2 (n 1) 利用递推公式 n(n) (n 1), 则一般项系数变为
a2m 1 (1) n 2 m 2 m!(n m 1)
m
17
将此系数表达式代回(13)中，
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
( s k ) 2 n 2 a k a k 2 x s k 0,
k 2



比较上式两边系数则有 ( s 2 n 2 )a0 0,
(14) (15) [( s 1) 2 n 2 ]a1 0, [( s k ) 2 n 2 ]a k a k 2 0 (k 2, 3, ) (16) 由于 a0 0, 从(14)可得 s1 n, s 2 n. 下面分三种情形讨论
m
lim
u m 1 um
x2 lim m 4( m 1)( n m 1)
0 1
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上 是绝对收敛的。
18
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k